Use algum critério para discutir a redutibilidade ou irredutibilidade: a) em

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que analisar se o polinômio é redutível ou irredutível no conjunto dos polinômios com coeficientes racionais, . Isso pertence ao estudo de álgebra, mais especificamente sobre polinômios e suas fatorações. Para resolver isso, vamos usar o Critério de Eisenstein após fazer uma substituição adequada no polinômio.

Passo 2

Primeiro, o que é o Critério de Eisenstein? Ele nos dá uma maneira de verificar se um polinômio é irredutível sobre sem ter que fatorar diretamente. Basicamente, se conseguimos encontrar um primo que divide todos os coeficientes, exceto o líder, e o quadrado desse primo não divide o termo independente, então o polinômio é irredutível.

Passo 3

Para aplicar o Critério de Eisenstein, pode ser útil fazer uma substituição no polinômio para facilitar a aplicação. Vamos substituir por no polinômio :

Passo 4

Agora, vamos expandir :

Passo 5

Agora temos o polinômio . Vamos verificar se ele satisfaz o Critério de Eisenstein com algum primo. Observando os coeficientes, podemos notar que o primo 23 divide o termo constante 23, mas não os outros coeficientes. Vamos tentar com outro primo, por exemplo, 3.
  • 3 divide 42, 61, 47?
    • 3 divide 42: sim
    • 3 divide 61: não
    • Portanto, 3 não funciona.
Vamos tentar com o primo 5:
  • 5 divide 42, 61, 47: não.
Parece difícil aplicar diretamente. Vamos tentar com o primo 7:
  • 7 divide 42: sim
  • 7 divide 61: não
Não está funcionando diretamente. Talvez a substitui��ão não tenha sido a melhor estratégia. Vamos então tentar outro método.

Passo 6

Vamos usar o Teorema de Racional das Raízes, que nos diz que qualquer raiz racional de deve satisfazer que divide o termo constante e divide o coeficiente líder.
Para , os possíveis valores de são e os de são . Assim, as possíveis raízes racionais são .

Passo 7

Vamos testar essas possíveis raízes:
Como nenhuma dessas substituições resulta em zero, o polinômio não tem raízes racionais.

Passo 8

A ausência de raízes racionais sugere que não pode ser fatorado em polinômios de menor grau com coeficientes racionais, ou seja, ele é irredutível em .

Resposta

O polinômio é irredutível em .

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Sejam e o homomorfismo do item (a).
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Verdadeiro (V) ou falso (F). Justifique sua resposta. j) ( ) Seja K um corpo, e . Mostre é raiz de se, e somente se, .
Use a regra da cadeia para achar .
.
c) Encontra as raízes do polinômio