Use algum critério para discutir a redutibilidade ou irredutibilidade: a)
em
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que analisar se o polinômio
é redutível ou irredutível no conjunto dos polinômios com coeficientes racionais,
. Isso pertence ao estudo de álgebra, mais especificamente sobre polinômios e suas fatorações. Para resolver isso, vamos usar o Critério de Eisenstein após fazer uma substituição adequada no polinômio.
Passo 2
Primeiro, o que é o Critério de Eisenstein? Ele nos dá uma maneira de verificar se um polinômio é irredutível sobre
sem ter que fatorar diretamente. Basicamente, se conseguimos encontrar um primo que divide todos os coeficientes, exceto o líder, e o quadrado desse primo não divide o termo independente, então o polinômio é irredutível.
Passo 3
Para aplicar o Critério de Eisenstein, pode ser útil fazer uma substituição no polinômio para facilitar a aplicação. Vamos substituir
por
no polinômio
:
Passo 4
Agora, vamos expandir
:
Passo 5
Agora temos o polinômio
. Vamos verificar se ele satisfaz o Critério de Eisenstein com algum primo. Observando os coeficientes, podemos notar que o primo 23 divide o termo constante 23, mas não os outros coeficientes. Vamos tentar com outro primo, por exemplo, 3.
- 3 divide 42, 61, 47?
- 3 divide 42: sim
- 3 divide 61: não
- Portanto, 3 não funciona.
Vamos tentar com o primo 5:
- 5 divide 42, 61, 47: não.
Parece difícil aplicar diretamente. Vamos tentar com o primo 7:
- 7 divide 42: sim
- 7 divide 61: não
Não está funcionando diretamente. Talvez a substitui��ão não tenha sido a melhor estratégia. Vamos então tentar outro método.
Passo 6
Vamos usar o Teorema de Racional das Raízes, que nos diz que qualquer raiz racional
de
deve satisfazer que
divide o termo constante e
divide o coeficiente líder.
Para
, os possíveis valores de
são
e os de
são
. Assim, as possíveis raízes racionais são
.
Passo 7
Vamos testar essas possíveis raízes:
Como nenhuma dessas substituições resulta em zero, o polinômio não tem raízes racionais.
Passo 8
A ausência de raízes racionais sugere que
não pode ser fatorado em polinômios de menor grau com coeficientes racionais, ou seja, ele é irredutível em
.
Resposta
O polinômio
é irredutível em
.
Exercícios relacionados
Sejam
e
o homomorfismo do item (a).
Se p não divede e
é irredutível sobre
, prove que
é irredutível sobre
Se p não divede
Verdadeiro (V) ou falso (F). Justifique sua resposta. j) ( ) Seja K um corpo,
e
. Mostre
é raiz de
se, e somente se,
.
Use a regra da cadeia para achar
.
.
c) Encontra as raízes do polinômio