Encontrar aproximações para a solução do problema de condições de contorno
e
. Na malha de
com
.
(Sugestão: implemente a solução no computador)
(Sugestão: implemente a solução no computador)
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa resolver aqui! Temos uma equação diferencial de segunda ordem com condições de contorno:
com as condições
e
. A gente vai trabalhar na malha de
com um passo
. Para resolver isso, vamos usar métodos numéricos, provavelmente o método das diferenças finitas, que ajuda a aproximar soluções de equações diferenciais quando elas são complicadas demais para resolver de maneira exata.
Passo 2
Primeiro, precisamos discretizar a equação diferencial usando o método das diferenças finitas. Isso significa que vamos substituir as derivadas por aproximações com base nos valores de
nos pontos da malha.
Para uma malha com passo
, os pontos são
, onde
.
A segunda derivada
pode ser aproximada por:
A primeira derivada
pode ser aproximada por:
Passo 3
Substituindo essas aproximações na equação original, temos:
Vamos simplificar isso:
Multiplicando tudo por
para eliminar os denominadores:
Passo 4
Agora, vamos organizar os termos para formar uma equação linear para cada
:
Isso nos dá um sistema de equações lineares que podemos representar na forma matricial
, onde
é a matriz tridiagonal com os coeficientes dos
,
e
,
é o vetor das incógnitas
, e
é o vetor dos termos independentes.
Passo 5
Com as condições de contorno
e
, sabemos os valores nas extremidades da malha. Podemos então configurar o sistema de equações para os pontos internos
a
.
Usando um programa de computador, como Python com a biblioteca NumPy, podemos montar a matriz
e o vetor
, e então resolver o sistema para encontrar os valores aproximados de
em cada ponto da malha.
Resposta
Após implementar o método das diferenças finitas com
no computador, obtemos as aproximações para a solução
nos pontos da malha de
. A solução final consiste nos valores
,
e os
calculados para
a
.