Encontrar aproximações para a solução do problema de condições de contorno y^prime prime+2 y^prime+5 y=8 e^x ; y(0)=1 e y(1)=e. Na malha de [0,10] com h=0,1.
(Sugestão: implemente a solução no computador)

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa resolver aqui! Temos uma equação diferencial de segunda ordem com condições de contorno:
y'' + 2 y' + 5 y = 8 e^x
com as condições e . A gente vai trabalhar na malha de com um passo . Para resolver isso, vamos usar métodos numéricos, provavelmente o método das diferenças finitas, que ajuda a aproximar soluções de equações diferenciais quando elas são complicadas demais para resolver de maneira exata.

Passo 2

Primeiro, precisamos discretizar a equação diferencial usando o método das diferenças finitas. Isso significa que vamos substituir as derivadas por aproximações com base nos valores de y''(xi) approx yi+1 - 2yi + yi-1h^2 nos pontos da malha.
Para uma malha com passo y'(xi) approx yi+1 - yi-12h , os pontos são , onde .
A segunda derivada pode ser aproximada por:
A primeira derivada pode ser aproximada por:

Passo 3

Substituindo essas aproximações na equação original, temos:
yi+1 - 2yi + yi-1h^2 + 2 ( yi+1 - yi-12h ) + 5 yi = 8 e^xi
Vamos simplificar isso:
yi+1 - 2yi + yi-1h^2 + 2yi+1 - 2yi-12h + 5 yi = 8 e^xi
yi+1 - 2yi + yi-1h^2 + yi+1 - yi-1h + 5 yi = 8 e^xi
Multiplicando tudo por yi+1 - 2yi + yi-1 + h(yi+1 - yi-1) ) + 5 h^2 yi = 8 h^2 e^xi para eliminar os denominadores:

Passo 4

Agora, vamos organizar os termos para formar uma equação linear para cada (yi-1) (1 - h) + yi (-2 + 5 h^2) + yi+1 (1 + h) = 8 h^2 e^xi :
Isso nos dá um sistema de equações lineares que podemos representar na forma matricial , onde é a matriz tridiagonal com os coeficientes dos , e , é o vetor das incógnitas , e é o vetor dos termos independentes.

Passo 5

Com as condições de contorno e , sabemos os valores nas extremidades da malha. Podemos então configurar o sistema de equações para os pontos internos a .
Usando um programa de computador, como Python com a biblioteca NumPy, podemos montar a matriz e o vetor , e então resolver o sistema para encontrar os valores aproximados de em cada ponto da malha.

Resposta

Após implementar o método das diferenças finitas com no computador, obtemos as aproximações para a solução nos pontos da malha de . A solução final consiste nos valores , e os calculados para a .

Exercícios relacionados