Encontrar aproximações para a solução do problema de condições de contorno e . Na malha de com .
(Sugestão: implemente a solução no computador)

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa resolver aqui! Temos uma equação diferencial de segunda ordem com condições de contorno:
com as condições e . A gente vai trabalhar na malha de com um passo . Para resolver isso, vamos usar métodos numéricos, provavelmente o método das diferenças finitas, que ajuda a aproximar soluções de equações diferenciais quando elas são complicadas demais para resolver de maneira exata.

Passo 2

Primeiro, precisamos discretizar a equação diferencial usando o método das diferenças finitas. Isso significa que vamos substituir as derivadas por aproximações com base nos valores de nos pontos da malha.
Para uma malha com passo , os pontos são , onde .
A segunda derivada pode ser aproximada por:
A primeira derivada pode ser aproximada por:

Passo 3

Substituindo essas aproximações na equação original, temos:
Vamos simplificar isso:
Multiplicando tudo por para eliminar os denominadores:

Passo 4

Agora, vamos organizar os termos para formar uma equação linear para cada :
Isso nos dá um sistema de equações lineares que podemos representar na forma matricial , onde é a matriz tridiagonal com os coeficientes dos , e , é o vetor das incógnitas , e é o vetor dos termos independentes.

Passo 5

Com as condições de contorno e , sabemos os valores nas extremidades da malha. Podemos então configurar o sistema de equações para os pontos internos a .
Usando um programa de computador, como Python com a biblioteca NumPy, podemos montar a matriz e o vetor , e então resolver o sistema para encontrar os valores aproximados de em cada ponto da malha.

Resposta

Após implementar o método das diferenças finitas com no computador, obtemos as aproximações para a solução nos pontos da malha de . A solução final consiste nos valores , e os calculados para a .

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çã
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