Encontrar aproximações para a solução do problema de condições de contorno y^prime prime+y^prime+2 y=0 ; y(0)=0 e y(1)=1.
a) Na malha de [0,1] com h=0,2. (Faça manualmente)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de equações diferenciais! A gente tem a equação com condições de contorno e . O que precisamos fazer é encontrar uma aproximação para a solução dessa equação usando uma malha no intervalo [0,1] com passo . Para isso, vamos usar o método das diferenças finitas, que transforma a equação diferencial em um sistema de equações lineares que a gente pode resolver manualmente.

Passo 2

Primeiro, vamos dividir o intervalo [0,1] em pontos com passo . Isso nos dá os seguintes pontos: , , , , e .

Passo 3

Agora, vamos substituir as derivadas na equação diferencial por aproximações usando diferenças finitas. Para a primeira derivada y'(xi) approx yi+1 - yi-12h no ponto y''(xi) approx yi+1 - 2yi + yi-1h^2 , podemos usar a diferença central:
Para a segunda derivada , usamos:

Passo 4

Substituindo essas aproximações na equação diferencial yi+1 - 2yi + yi-1h^2 + yi+1 - yi-12h + 2yi = 0 , temos:
yi+1 - 2yi + yi-1 + h2(yi+1 - yi-1) ) + 2h^2 yi = 0
Multiplicando tudo por para simplificar:

Passo 5

Vamos organizar os termos para cada ponto interno (1 + h2) yi+1 + (-2 + 2h^2) yi + (1 - h2) yi-1 = 0 :
1 + 0,1 = 1,1 -2 + 2(0,04) = -2 + 0,08 = -1,92 1 - 0,1 = 0,9
Com 1,1, yi+1 - 1,92, yi + 0,9, yi-1 = 0 , substituindo:
Então, nossa equação fica:

Passo 6

Agora, aplicamos isso para cada um dos pontos internos:
  • Para 1,1, y2 - 1,92, y1 + 0,9, y0 = 0 ( 1,1, y2 - 1,92, y1 = 0 ):
1,1, y3 - 1,92, y2 + 0,9, y1 = 0
Sabemos que 1,1, y4 - 1,92, y3 + 0,9, y2 = 0 , então:
1,1, y5 - 1,92, y4 + 0,9, y3 = 0
  • Para 1,1, (1) - 1,92, y4 + 0,9, y3 = 0 implies 1,1 - 1,92, y4 + 0,9, y3 = 0 ( ):
  • Para ( ):
  • Para ( ):
Sabemos que , então:

Passo 7

Agora, temos um sistema de 4 equações com 4 incógnitas ( ):

Passo 8

Vamos resolver esse sistema passo a passo. Primeiro, expressamos as equações de forma matricial:
-1,92, y1 + 1,1, y2 = 0 0,9, y1 - 1,92, y2 + 1,1, y3 = 0 0,9, y2 - 1,92, y3 + 1,1, y4 = 0 0,9, y3 - 1,92, y4 = -1,1
Resolvendo a última equação para 0,9, y3 - 1,92, y4 = -1,1 implies y4 = 0,9, y3 + 1,11,92 :
0,9, y2 - 1,92, y3 + 1,1 ( 0,9, y3 + 1,11,92 ) = 0
Substituímos na terceira equação:
Resolvendo isso para , e assim sucessivamente, até encontrar todos os valores de .

Passo 9

Após resolver o sistema de equações, encontramos os valores aproximados para . Esses valores representam as aproximações da solução da equação diferencial nos pontos , , e .

Resposta

As aproximações para a solução do problema de condições de contorno são:
y(0,2) approx y1 y(0,4) approx y2 y(0,6) approx y3 y(0,8) approx y4
Com os valores específicos encontrados ao resolver o sistema de equações.

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