Encontrar aproximações para a solução do problema de condições de contorno e .
a) Na malha de com . (Faça manualmente)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de equações diferenciais! A gente tem a equação com condições de contorno e . O que precisamos fazer é encontrar uma aproximação para a solução dessa equação usando uma malha no intervalo [0,1] com passo . Para isso, vamos usar o método das diferenças finitas, que transforma a equação diferencial em um sistema de equações lineares que a gente pode resolver manualmente.

Passo 2

Primeiro, vamos dividir o intervalo [0,1] em pontos com passo . Isso nos dá os seguintes pontos: , , , , e .

Passo 3

Agora, vamos substituir as derivadas na equação diferencial por aproximações usando diferenças finitas. Para a primeira derivada no ponto , podemos usar a diferença central:
Para a segunda derivada , usamos:

Passo 4

Substituindo essas aproximações na equação diferencial , temos:
Multiplicando tudo por para simplificar:

Passo 5

Vamos organizar os termos para cada ponto interno :
Com , substituindo:
Então, nossa equação fica:

Passo 6

Agora, aplicamos isso para cada um dos pontos internos:
  • Para ( ):
Sabemos que , então:
  • Para ( ):
  • Para ( ):
  • Para ( ):
Sabemos que , então:

Passo 7

Agora, temos um sistema de 4 equações com 4 incógnitas ( ):

Passo 8

Vamos resolver esse sistema passo a passo. Primeiro, expressamos as equações de forma matricial:
Resolvendo a última equação para :
Substituímos na terceira equação:
Resolvendo isso para , e assim sucessivamente, até encontrar todos os valores de .

Passo 9

Após resolver o sistema de equações, encontramos os valores aproximados para . Esses valores representam as aproximações da solução da equação diferencial nos pontos , , e .

Resposta

As aproximações para a solução do problema de condições de contorno são:
Com os valores específicos encontrados ao resolver o sistema de equações.

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A constante de velocidade ( ) de uma reação química de ordem é relacionada com a concentração e o tempo pela equação
onde é a concentração inicial. Calcule a constante de velocidade da reação cujos valores de e são dados na tabela.
i 1 2 3 4 5 6
0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3
0,86 0,68 0,59 0,47 0,43 0,38
Encontrar aproximações para a solução do problema de valor inicial (PVI) .
Na malha de com
a)
a) Encontrar aproximações para a solução do problema de valor inicial (PVI) .
Na malha de com .
Encontrar aproximações para a solução do problema de condições de contorno e . Na malha de com .
(Sugestão: implemente a solução no computador)