Encontrar aproximações para a solução do problema de condições de contorno e .
a) Na malha de com . (Faça manualmente)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de equações diferenciais! A gente tem a equação com condições de contorno e . O que precisamos fazer é encontrar uma aproximação para a solução dessa equação usando uma malha no intervalo [0,1] com passo . Para isso, vamos usar o método das diferenças finitas, que transforma a equação diferencial em um sistema de equações lineares que a gente pode resolver manualmente.
Passo 2
Primeiro, vamos dividir o intervalo [0,1] em pontos com passo . Isso nos dá os seguintes pontos: , , , , e .
Passo 3
Agora, vamos substituir as derivadas na equação diferencial por aproximações usando diferenças finitas. Para a primeira derivada no ponto , podemos usar a diferença central:
Para a segunda derivada , usamos:
Passo 4
Substituindo essas aproximações na equação diferencial , temos:
Multiplicando tudo por para simplificar:
Passo 5
Vamos organizar os termos para cada ponto interno :
Com , substituindo:
Então, nossa equação fica:
Passo 6
Agora, aplicamos isso para cada um dos pontos internos:
Para ():
Sabemos que , então:
Para ():
Para ():
Para ():
Sabemos que , então:
Passo 7
Agora, temos um sistema de 4 equações com 4 incógnitas ():
Passo 8
Vamos resolver esse sistema passo a passo. Primeiro, expressamos as equações de forma matricial:
Resolvendo a última equação para :
Substituímos na terceira equação:
Resolvendo isso para , e assim sucessivamente, até encontrar todos os valores de .
Passo 9
Após resolver o sistema de equações, encontramos os valores aproximados para . Esses valores representam as aproximações da solução da equação diferencial nos pontos , , e .
Resposta
As aproximações para a solução do problema de condições de contorno são:
Com os valores específicos encontrados ao resolver o sistema de equações.