a) Encontrar aproximações para a solução do problema de valor inicial (PVI) y^prime=1 / x ; y(1)=0.
Na malha de [1,2] com h=0,1.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos um problema de valor inicial (PVI) dado por com a condição inicial . O objetivo é encontrar aproximações para a solução desse PVI no intervalo de usando uma malha com passo . Para resolver isso, vamos utilizar o método de Euler, que é uma técnica numérica simples para aproximar soluções de equações diferenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o método de Euler. É uma técnica que nos permite estimar o valor de yn+1 = yn + h cdot f(xn, yn) em pontos sucessivos a partir de uma condição inicial. A fórmula básica do método de Euler é:
Aqui, é o tamanho do passo, é a derivada de em relação a , e é a estimativa atual de .

Passo 3

Vamos começar aplicando o método de Euler passo a passo. Nosso intervalo vai de até com intervalos de . Vamos calcular em cada ponto.

Passo 4

Passo 0: Inicialização
  • (condição inicial)

Passo 5

Passo 1: y1 = y0 + h cdot f(x0, y0) = 0 + 0,1 cdot 11,0 = 0 + 0,1 cdot 1 = 0,1

Passo 6

Passo 2: y2 = y1 + h cdot f(x1, y1) = 0,1 + 0,1 cdot 11,1 approx 0,1 + 0,1 cdot 0,9091 approx 0,1 + 0,09091 = 0,19091

Passo 7

Passo 3: y3 = y2 + h cdot f(x2, y2) = 0,19091 + 0,1 cdot 11,2 approx 0,19091 + 0,1 cdot 0,8333 approx 0,19091 + 0,08333 = 0,27424

Passo 8

Passo 4: y4 = y3 + h cdot f(x3, y3) = 0,27424 + 0,1 cdot 11,3 approx 0,27424 + 0,1 cdot 0,7692 approx 0,27424 + 0,07692 = 0,35116

Passo 9

Passo 5: y5 = y4 + h cdot f(x4, y4) = 0,35116 + 0,1 cdot 11,4 approx 0,35116 + 0,1 cdot 0,7143 approx 0,35116 + 0,07143 = 0,42259

Passo 10

Passo 6: y6 = y5 + h cdot f(x5, y5) = 0,42259 + 0,1 cdot 11,5 approx 0,42259 + 0,1 cdot 0,6667 approx 0,42259 + 0,06667 = 0,48926

Passo 11

Passo 7: y7 = y6 + h cdot f(x6, y6) = 0,48926 + 0,1 cdot 11,6 approx 0,48926 + 0,1 cdot 0,6250 approx 0,48926 + 0,06250 = 0,55176

Passo 12

Passo 8: y8 = y7 + h cdot f(x7, y7) = 0,55176 + 0,1 cdot 11,7 approx 0,55176 + 0,1 cdot 0,5882 approx 0,55176 + 0,05882 = 0,61058

Passo 13

Passo 9: y9 = y8 + h cdot f(x8, y8) = 0,61058 + 0,1 cdot 11,8 approx 0,61058 + 0,1 cdot 0,5556 approx 0,61058 + 0,05556 = 0,66614

Passo 14

Passo 10: y10 = y9 + h cdot f(x9, y9) = 0,66614 + 0,1 cdot 11,9 approx 0,66614 + 0,1 cdot 0,5263 approx 0,66614 + 0,05263 = 0,71877

Resposta

As aproximações para a solução do PVI |c|c| hline x & y hline 1,0 & 0,00000 1,1 & 0,10000 1,2 & 0,19091 1,3 & 0,27424 1,4 & 0,35116 1,5 & 0,42259 1,6 & 0,48926 1,7 & 0,55176 1,8 & 0,61058 1,9 & 0,66614 2,0 & 0,71877 hline com na malha de com são:

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