Encontrar aproximações para a solução do problema de valor inicial (PVI) y^prime=y-2 x / y ; y(0)=1.
Na malha de [0,1] com h=0,2

Passo 1

Beleza, vamos resolver o problema de valor inicial com a condição inicial no intervalo de usando uma malha com passo . Para isso, vamos usar o método de Euler, que é uma maneira simples de aproximar soluções de equações diferenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a função que define a derivada: . Esse nos ajuda a calcular a inclinação da solução no ponto atual.

Passo 3

Começamos no ponto inicial y1 = y0 + h cdot f(x0, y0) e y1 = 1 + 0,2 cdot (1 - 2 cdot 01) = 1 + 0,2 cdot 1 = 1,2 . Agora, aplicamos a fórmula de Euler para encontrar :
Substituindo os valores:

Passo 4

Agora, avançamos para o próximo ponto y2 = y1 + h cdot f(x1, y1) = 1,2 + 0,2 cdot (1,2 - 2 cdot 0,21,2) e y2 = 1,2 + 0,2 cdot (1,2 - 0,41,2) = 1,2 + 0,2 cdot (1,2 - 0,333) approx 1,2 + 0,2 cdot 0,867 = 1,2 + 0,173 = 1,373 . Usamos novamente a fórmula de Euler:
Calculando:

Passo 5

Seguimos para y3 = y2 + h cdot f(x2, y2) = 1,373 + 0,2 cdot (1,373 - 2 cdot 0,41,373) e y3 approx 1,373 + 0,2 cdot (1,373 - 0,81,373) approx 1,373 + 0,2 cdot (1,373 - 0,583) = 1,373 + 0,2 cdot 0,790 = 1,373 + 0,158 = 1,531 . Aplicamos:
Calculando:

Passo 6

Avançamos para y4 = y3 + h cdot f(x3, y3) = 1,531 + 0,2 cdot (1,531 - 2 cdot 0,61,531) e y4 approx 1,531 + 0,2 cdot (1,531 - 1,21,531) approx 1,531 + 0,2 cdot (1,531 - 0,784) = 1,531 + 0,2 cdot 0,747 = 1,531 + 0,149 = 1,680 . Calculamos:
Calculando:

Passo 7

Finalmente, vamos para y5 = y4 + h cdot f(x4, y4) = 1,680 + 0,2 cdot (1,680 - 2 cdot 0,81,680) e y5 approx 1,680 + 0,2 cdot (1,680 - 1,61,680) approx 1,680 + 0,2 cdot (1,680 - 0,952) = 1,680 + 0,2 cdot 0,728 = 1,680 + 0,146 = 1,826 . Aplicamos:
Calculando:

Resposta

Aproximadamente, a solução do PVI em é .

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