Dada a função
, faça as seguintes tarefas no computador:
d) Escolha uma raiz e calcule-a com
, usando o Método de Newton. Faça uma tabela das raízes obtidas a cada iteração e observe a convergência.
d) Escolha uma raiz e calcule-a com
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a função
e a tarefa é encontrar uma das raízes dessa função usando o Método de Newton, com uma precisão de
. Para isso, vamos precisar entender como funciona o Método de Newton e aplicá-lo passo a passo até chegar na resposta final.
Passo 2
Primeiro, o que é uma raiz de uma função? É o valor de
que faz
. Ou seja, estamos procurando encontrar
tal que:
Passo 3
Agora, o Método de Newton é uma técnica iterativa para encontrar aproximações sucessivamente melhores para as raízes de uma função. A fórmula do Método de Newton é:
Onde:
-
é a estimativa atual da raiz. -
é a derivada da função no ponto . -
é a próxima estimativa.
Passo 4
Primeiro, precisamos da derivada da nossa função
. Vamos calculá-la:
A derivada é:
Passo 5
Agora, precisamos escolher um valor inicial
próximo da raiz que queremos encontrar. Olhando para a função, podemos tentar alguns valores para ver onde a função muda de sinal, indicando a presença de uma raiz.
Vamos testar
:
E
:
Ops! Parece que
já é uma raiz exata. Mas para ilustrar o Método de Newton, vamos escolher outra raiz. Vamos tentar
:
E
:
Ainda negativo. Vamos tentar
:
Agora, muda de negativo para positivo entre
e
, então há uma raiz nesse intervalo. Vamos escolher
como nosso ponto de partida.
Passo 6
Vamos montar uma tabela para acompanhar as iterações do Método de Newton:
Iteração |
|
|
|
|
---|---|---|---|---|
0 | 4.5 | ? | ? | ? |
Primeiro, calculamos
e
:
Agora, aplicamos a fórmula do Método de Newton:
Atualizamos a tabela:
Iteração |
|
|
|
|
---|---|---|---|---|
0 | 4.5 | -2.625 | 16.75 | 4.656 |
Passo 7
Vamos para a próxima iteração com
:
Aplicando a fórmula:
Atualizamos a tabela:
Iteração |
|
|
|
|
---|---|---|---|---|
0 | 4.5 | -2.625 | 16.75 | 4.656 |
1 | 4.656 | -0.064 | 19.56 | 4.659 |
Passo 8
Vamos fazer mais uma iteração com
:
Aplicando a fórmula:
Atualizamos a tabela:
Iteração |
|
|
|
|
---|---|---|---|---|
0 | 4.5 | -2.625 | 16.75 | 4.656 |
1 | 4.656 | -0.064 | 19.56 | 4.659 |
2 | 4.659 | 0.849 | 19.6 | 4.616 |
Passo 9
Continuando, com
:
Aplicando a fórmula:
Atualizamos a tabela:
Iteração |
|
|
|
|
---|---|---|---|---|
0 | 4.5 | -2.625 | 16.75 | 4.656 |
1 | 4.656 | -0.064 | 19.56 | 4.659 |
2 | 4.659 | 0.849 | 19.6 | 4.616 |
3 | 4.616 | -0.783 | 18.72 | 4.658 |
Passo 10
Vamos fazer mais uma iteração com
:
Aplicando a fórmula:
Atualizamos a tabela:
Iteração |
|
|
|
|
---|---|---|---|---|
0 | 4.5 | -2.625 | 16.75 | 4.656 |
1 | 4.656 | -0.064 | 19.56 | 4.659 |
2 | 4.659 | 0.849 | 19.6 | 4.616 |
3 | 4.616 | -0.783 | 18.72 | 4.658 |
4 | 4.658 | -0.324 | 19.58 | 4.6745 |
Passo 11
Continuaremos iterando até que a diferença entre as estimativas seja menor que
. Após algumas iterações adicionais, chegamos a:
Resposta
A raiz escolhida da função
calculada pelo Método de Newton com
é aproximadamente
.