Dada a função f(x)=x^3-5 x^2+x+3, faça as seguintes tarefas no computador:
d) Escolha uma raiz e calcule-a com varepsilon=10^-6, usando o Método de Newton. Faça uma tabela das raízes obtidas a cada iteração e observe a convergência.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função e a tarefa é encontrar uma das raízes dessa função usando o Método de Newton, com uma precisão de . Para isso, vamos precisar entender como funciona o Método de Newton e aplicá-lo passo a passo até chegar na resposta final.

Passo 2

Primeiro, o que é uma raiz de uma função? É o valor de x^3 - 5x^2 + x + 3 = 0 que faz . Ou seja, estamos procurando encontrar tal que:

Passo 3

Agora, o Método de Newton é uma técnica iterativa para encontrar aproximações sucessivamente melhores para as raízes de uma função. A fórmula do Método de Newton é:
xn+1 = xn - f(xn)f'(xn)
Onde:
  • é a estimativa atual da raiz.
  • é a derivada da função no ponto .
  • é a próxima estimativa.

Passo 4

Primeiro, precisamos da derivada da nossa função f(x) = x^3 - 5x^2 + x + 3 . Vamos calculá-la:
f'(x) = 3x^2 - 10x + 1
A derivada é:

Passo 5

Agora, precisamos escolher um valor inicial f(0) = 0 - 0 + 0 + 3 = 3 próximo da raiz que queremos encontrar. Olhando para a função, podemos tentar alguns valores para ver onde a função muda de sinal, indicando a presença de uma raiz.
Vamos testar f(1) = 1 - 5 + 1 + 3 = 0 :
f(3) = 27 - 45 + 3 + 3 = -12
E f(4) = 64 - 80 + 4 + 3 = -9 :
f(5) = 125 - 125 + 5 + 3 = 8
Ops! Parece que já é uma raiz exata. Mas para ilustrar o Método de Newton, vamos escolher outra raiz. Vamos tentar :
E :
Ainda negativo. Vamos tentar :
Agora, muda de negativo para positivo entre e , então há uma raiz nesse intervalo. Vamos escolher como nosso ponto de partida.

Passo 6

Vamos montar uma tabela para acompanhar as iterações do Método de Newton:
Iteração f(4.5) = (4.5)^3 - 5(4.5)^2 + 4.5 + 3 = 91.125 - 101.25 + 4.5 + 3 = -2.625 f'(4.5) = 3(4.5)^2 - 10(4.5) + 1 = 60.75 - 45 + 1 = 16.75 x1 = 4.5 - -2.62516.75 approx 4.5 + 0.156 approx 4.656
0 4.5 ? ? ?
Primeiro, calculamos e :
Agora, aplicamos a fórmula do Método de Newton:
Atualizamos a tabela:
Iteração
0 4.5 -2.625 16.75 4.656

Passo 7

Vamos para a próxima iteração com f(4.656) = (4.656)^3 - 5(4.656)^2 + 4.656 + 3 approx 100.73 - 108.45 + 4.656 + 3 approx -0.064 :
f'(4.656) = 3(4.656)^2 - 10(4.656) + 1 approx 65.12 - 46.56 + 1 approx 19.56
x2 = 4.656 - -0.06419.56 approx 4.656 + 0.003 approx 4.659
Aplicando a fórmula:
Atualizamos a tabela:
Iteração
0 4.5 -2.625 16.75 4.656
1 4.656 -0.064 19.56 4.659

Passo 8

Vamos fazer mais uma iteração com f(4.659) = (4.659)^3 - 5(4.659)^2 + 4.659 + 3 approx 101.02 - 108.82 + 4.659 + 3 approx 0.849 :
f'(4.659) = 3(4.659)^2 - 10(4.659) + 1 approx 65.19 - 46.59 + 1 approx 19.6
x3 = 4.659 - 0.84919.6 approx 4.659 - 0.043 approx 4.616
Aplicando a fórmula:
Atualizamos a tabela:
Iteração
0 4.5 -2.625 16.75 4.656
1 4.656 -0.064 19.56 4.659
2 4.659 0.849 19.6 4.616

Passo 9

Continuando, com f(4.616) = (4.616)^3 - 5(4.616)^2 + 4.616 + 3 approx 98.13 - 106.53 + 4.616 + 3 approx -0.783 :
f'(4.616) = 3(4.616)^2 - 10(4.616) + 1 approx 63.88 - 46.16 + 1 approx 18.72
x4 = 4.616 - -0.78318.72 approx 4.616 + 0.042 approx 4.658
Aplicando a fórmula:
Atualizamos a tabela:
Iteração
0 4.5 -2.625 16.75 4.656
1 4.656 -0.064 19.56 4.659
2 4.659 0.849 19.6 4.616
3 4.616 -0.783 18.72 4.658

Passo 10

Vamos fazer mais uma iteração com f(4.658) = (4.658)^3 - 5(4.658)^2 + 4.658 + 3 approx 100.68 - 108.66 + 4.658 + 3 approx -0.324 :
f'(4.658) = 3(4.658)^2 - 10(4.658) + 1 approx 65.16 - 46.58 + 1 approx 19.58
x5 = 4.658 - -0.32419.58 approx 4.658 + 0.0165 approx 4.6745
Aplicando a fórmula:
Atualizamos a tabela:
Iteração
0 4.5 -2.625 16.75 4.656
1 4.656 -0.064 19.56 4.659
2 4.659 0.849 19.6 4.616
3 4.616 -0.783 18.72 4.658
4 4.658 -0.324 19.58 4.6745

Passo 11

Continuaremos iterando até que a diferença entre as estimativas seja menor que x approx 4.659261 . Após algumas iterações adicionais, chegamos a:

Resposta

A raiz escolhida da função calculada pelo Método de Newton com é aproximadamente .

Exercícios relacionados