Dada a função , faça as seguintes tarefas no computador:
d) Escolha uma raiz e calcule-a com , usando o Método de Newton. Faça uma tabela das raízes obtidas a cada iteração e observe a convergência.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função e a tarefa é encontrar uma das raízes dessa função usando o Método de Newton, com uma precisão de . Para isso, vamos precisar entender como funciona o Método de Newton e aplicá-lo passo a passo até chegar na resposta final.

Passo 2

Primeiro, o que é uma raiz de uma função? É o valor de que faz . Ou seja, estamos procurando encontrar tal que:

Passo 3

Agora, o Método de Newton é uma técnica iterativa para encontrar aproximações sucessivamente melhores para as raízes de uma função. A fórmula do Método de Newton é:
Onde:
  • é a estimativa atual da raiz.
  • é a derivada da função no ponto .
  • é a próxima estimativa.

Passo 4

Primeiro, precisamos da derivada da nossa função . Vamos calculá-la:
A derivada é:

Passo 5

Agora, precisamos escolher um valor inicial próximo da raiz que queremos encontrar. Olhando para a função, podemos tentar alguns valores para ver onde a função muda de sinal, indicando a presença de uma raiz.
Vamos testar :
E :
Ops! Parece que já é uma raiz exata. Mas para ilustrar o Método de Newton, vamos escolher outra raiz. Vamos tentar :
E :
Ainda negativo. Vamos tentar :
Agora, muda de negativo para positivo entre e , então há uma raiz nesse intervalo. Vamos escolher como nosso ponto de partida.

Passo 6

Vamos montar uma tabela para acompanhar as iterações do Método de Newton:
Iteração
0 4.5 ? ? ?
Primeiro, calculamos e :
Agora, aplicamos a fórmula do Método de Newton:
Atualizamos a tabela:
Iteração
0 4.5 -2.625 16.75 4.656

Passo 7

Vamos para a próxima iteração com :
Aplicando a fórmula:
Atualizamos a tabela:
Iteração
0 4.5 -2.625 16.75 4.656
1 4.656 -0.064 19.56 4.659

Passo 8

Vamos fazer mais uma iteração com :
Aplicando a fórmula:
Atualizamos a tabela:
Iteração
0 4.5 -2.625 16.75 4.656
1 4.656 -0.064 19.56 4.659
2 4.659 0.849 19.6 4.616

Passo 9

Continuando, com :
Aplicando a fórmula:
Atualizamos a tabela:
Iteração
0 4.5 -2.625 16.75 4.656
1 4.656 -0.064 19.56 4.659
2 4.659 0.849 19.6 4.616
3 4.616 -0.783 18.72 4.658

Passo 10

Vamos fazer mais uma iteração com :
Aplicando a fórmula:
Atualizamos a tabela:
Iteração
0 4.5 -2.625 16.75 4.656
1 4.656 -0.064 19.56 4.659
2 4.659 0.849 19.6 4.616
3 4.616 -0.783 18.72 4.658
4 4.658 -0.324 19.58 4.6745

Passo 11

Continuaremos iterando até que a diferença entre as estimativas seja menor que . Após algumas iterações adicionais, chegamos a:

Resposta

A raiz escolhida da função calculada pelo Método de Newton com é aproximadamente .

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1 0,012 20
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i
1 0,0 4
2 0,6 2,23
3 1,0