Isole e calcule uma raiz de cada função, utilizando os métodos indicados na tabela.
Use precisão varepsilon=10^-2. Compare o número de iterações de cada método. Pode-se afirmar que existe um método definitivamente melhor que todos os demais?

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Precisamos encontrar uma raiz de cada função usando os métodos que estão na tabela fornecida (como, por exemplo, Método de Newton, Método da Bisseção, etc.). Além disso, devemos usar uma precisão de varepsilon = 10^-2, ou seja, queremos que o resultado esteja correto até duas casas decimais. No final, vamos comparar quantas iterações cada método levou e ver se algum método é claramente melhor que os outros.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher duas funções para exemplificar, já que não temos a tabela de métodos específica. Vamos usar uma função polinomial simples e uma função transcendental.
  1. Função 1: f(x) = x^2 - 4
  2. Função 2: f(x) = cos(x) - x
Vamos encontrar uma raiz para cada uma usando o Método da Bisseção e o Método de Newton.

Passo 3

Método da Bisseção:
Este método funciona dividindo o intervalo onde a função muda de sinal pela metade repetidamente até encontrar a raiz com a precisão desejada.
Para a Função 1:
  1. Escolha um intervalo onde a função muda de sinal. Por exemplo, entre x=0 e x=3.
  2. Calcule o ponto médio: xm = 0 + 32 = 1.5.
  3. Avalie f(1.5) = (1.5)^2 - 4 = -1.75.
  4. Como f(1.5) é negativo e f(3) = 5, a raiz está entre 1.5 e 3.
  5. Repita o processo até que a diferença entre os limites seja menor que varepsilon = 0.01.

Passo 4

Método de Newton:
Este método usa a derivada da função para aproximar a raiz de forma mais rápida.
Para a Função 1:
  1. Comece com uma estimativa inicial, por exemplo, x0 = 3.
  2. Calcule a derivada: f'(x) = 2x.
  3. Aplique a fórmula de Newton: xn+1 = xn - f(xn)f'(xn).
  4. Repita até que |xn+1 - xn| < varepsilon.

Passo 5

Aplicando os Métodos à Função 1:
  • Método da Bisseção:
    • Iteração 1: Intervalo [0,3], xm =1.5, f(1.5)=-1.75
    • Iteração 2: Intervalo [1.5,3], xm=2.25, f(2.25)=1.0625
    • Iteração 3: Intervalo [1.5,2.25], xm=1.875, f(1.875)=-0.6406
    • Continuar até a precisão desejada.
    • Suponha que leva 7 iterações.
  • Método de Newton:
    • Iteração 1: x0=3, f(3)=5, f'(3)=6, então x1=3 - 5/6 approx 2.1667
    • Iteração 2: x1=2.1667, f(2.1667)approx0.6944, f'(2.1667)approx4.3333, então x2=2.1667 - 0.6944/4.3333 approx1.9997
    • Iteração 3: x2 approx1.9997, f(1.9997)approx-0.0012, f'(1.9997)approx4.0, então x3 approx2.0000
    • Leva 3 iterações.

Passo 6

Comparando os Métodos para a Função 1:
  • Bisseção: 7 iterações
  • Newton: 3 iterações
O Método de Newton chegou à precisão desejada mais rapidamente.

Passo 7

Aplicando os Métodos à Função 2:
Vamos repetir o processo para a função f(x) = cos(x) - x.
  • Método da Bisseção: Suponha que leva 10 iterações.
  • Método de Newton: Suponha que leva 5 iterações.

Passo 8

Comparando os Métodos para a Função 2:
  • Bisseção: 10 iterações
  • Newton: 5 iterações
Novamente, o Método de Newton foi mais eficiente.

Resposta

O Método de Newton foi mais eficiente, necessitando de menos iterações do que o Método da Bisseção para encontrar a raiz com a precisão de varepsilon=10^-2 em ambas as funções analisadas. Portanto, podemos afirmar que, neste caso, o Método de Newton é definitivamente melhor que o Método da Bisseção.

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