Encontrar a área de interseção entre r=4 cos theta e r=4 sin theta.

Passo 1

Vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a área de interseção entre duas curvas que estão no formato polar: r=4 cos theta e r=4 sin theta. Aqui, estamos lidando com a matéria de "Geometria Analítica" e, mais especificamente, com "Coordenadas Polares". Para resolver isso, precisaremos entender onde essas duas curvas se encontram e como calcular a área que está entre elas.

Passo 2

Primeiro, precisamos descobrir os pontos onde essas duas curvas se cruzam. Para isso, igualamos os valores de r:
4 cos theta = 4 sin theta
Podemos simplificar essa equação dividindo os dois lados por 4:
cos theta = sin theta
Agora, essa equação é verdadeira quando theta é igual a pi4 (45 graus) e também em outros ângulos, mas, para o nosso caso, como estamos lidando com funções trigonométricas no intervalo de 0 a pi2 (primeiro quadrante), a única solução relevante para nós é:
theta = pi4

Passo 3

Agora que sabemos onde as curvas se encontram, vamos calcular a área de interseção. A área entre duas curvas em coordenadas polares pode ser encontrada usando a seguinte fórmula:
A = 12 integraltheta1^theta2 ( r1^2 - r2^2 ) dtheta
Vamos identificar qual função é r1 e qual é r2. Para os valores de 0 até pi4, a função que está mais para fora é r=4 sin theta, então:
  • r1 = 4 sin theta
  • r2 = 4 cos theta
Agora, precisamos dos limites de integração. Eles vão de 0 até pi4.
Já podemos montar nossa integral:
A = 12 integral0^pi4 ( (4 sin theta)^2 - (4 cos theta)^2 ) dtheta
Simplificando isso:
A = 12 integral0^pi4 ( 16 sin^2 theta - 16 cos^2 theta ) dtheta
A = 8 integral0^pi4 ( sin^2 theta - cos^2 theta ) dtheta

Passo 4

Agora, vamos resolver a integral. Para isso, é útil usar a identidade trigonométrica:
sin^2 theta - cos^2 theta = -cos(2theta)
Então, nossa integral fica assim:
A = 8 integral0^pi4 -cos(2theta) dtheta
Integrando -cos(2theta), obtemos:
-12 sin(2theta)
A nossa integral agora se torna:
A = 8 [-12 sin(2theta) ]0^pi4
Substituindo os limites de integração:
A = 8 [-12 sin(pi2) + 12 sin(0) ]
Sabemos que sin(pi2) = 1 e sin(0) = 0, então a expressão fica:
A = 8 [-12(1) + 0 ]
A = 8 [-12 ] = -4
Como área não pode ser negativa, pegamos o valor positivo, então:
A = 4

Resposta

A área de interseção entre r=4 cos theta e r=4 sin theta é 4 unidades quadradas.

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