Encontrar a área de interseção entre e .

Passo 1

Vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a área de interseção entre duas curvas que estão no formato polar: e . Aqui, estamos lidando com a matéria de "Geometria Analítica" e, mais especificamente, com "Coordenadas Polares". Para resolver isso, precisaremos entender onde essas duas curvas se encontram e como calcular a área que está entre elas.

Passo 2

Primeiro, precisamos descobrir os pontos onde essas duas curvas se cruzam. Para isso, igualamos os valores de :
Podemos simplificar essa equação dividindo os dois lados por 4:
Agora, essa equação é verdadeira quando é igual a (45 graus) e também em outros ângulos, mas, para o nosso caso, como estamos lidando com funções trigonométricas no intervalo de a (primeiro quadrante), a única solução relevante para nós é:

Passo 3

Agora que sabemos onde as curvas se encontram, vamos calcular a área de interseção. A área entre duas curvas em coordenadas polares pode ser encontrada usando a seguinte fórmula:
Vamos identificar qual função é e qual é . Para os valores de até , a função que está mais para fora é , então:
Agora, precisamos dos limites de integração. Eles vão de até .
Já podemos montar nossa integral:
Simplificando isso:

Passo 4

Agora, vamos resolver a integral. Para isso, é útil usar a identidade trigonométrica:
Então, nossa integral fica assim:
Integrando , obtemos:
A nossa integral agora se torna:
Substituindo os limites de integração:
Sabemos que e , então a expressão fica:
Como área não pode ser negativa, pegamos o valor positivo, então:

Resposta

A área de interseção entre e é unidades quadradas.

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