Encontrar a área de interseção entre
e
.
Passo 1
Vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a área de interseção entre duas curvas que estão no formato polar:
e
. Aqui, estamos lidando com a matéria de
"Geometria Analítica"
e, mais especificamente, com "Coordenadas Polares"
. Para resolver isso, precisaremos entender onde essas duas curvas se encontram e como calcular a área que está entre elas.Passo 2
Primeiro, precisamos descobrir os pontos onde essas duas curvas se cruzam. Para isso, igualamos os valores de
:
Podemos simplificar essa equação dividindo os dois lados por 4:
Agora, essa equação é verdadeira quando
é igual a
(45 graus) e também em outros ângulos, mas, para o nosso caso, como estamos lidando com funções trigonométricas no intervalo de
a
(primeiro quadrante), a única solução relevante para nós é:
Passo 3
Agora que sabemos onde as curvas se encontram, vamos calcular a área de interseção. A área entre duas curvas em coordenadas polares pode ser encontrada usando a seguinte fórmula:
Vamos identificar qual função é
e qual é
. Para os valores de
até
, a função que está mais para fora é
, então:
Agora, precisamos dos limites de integração. Eles vão de
até
.
Já podemos montar nossa integral:
Simplificando isso:
Passo 4
Agora, vamos resolver a integral. Para isso, é útil usar a identidade trigonométrica:
Então, nossa integral fica assim:
Integrando
, obtemos:
A nossa integral agora se torna:
Substituindo os limites de integração:
Sabemos que
e
, então a expressão fica:
Como área não pode ser negativa, pegamos o valor positivo, então:
Resposta
A área de interseção entre
e
é
unidades quadradas.
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, então qualquer combinação linear destas soluções continua a ser solução, isto é:
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