mathscrLt(e^t+e^2 t)^2;

Passo 1

Então, vamos resolver a questão que envolve a transformação de Laplace de uma função. O enunciado nos pede para calcular mathscrLt(e^t+e^2 t)^2. Para resolver isso, vamos precisar entender como aplicar a transformação de Laplace e como lidar com as propriedades das funções que estão dentro dela. A fórmula básica da transformação de Laplace é dada por:
mathscrLf(t) = integral0^infty e^-st f(t) dt
Neste caso, a função a ser transformada é um pouco mais complexa, então vamos desmembrá-la.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função que temos dentro da transformação. A expressão t(e^t+e^2t)^2 pode ser expandida. Vamos começar expandindo (e^t + e^2t)^2:
(e^t + e^2t)^2 = e^2t + 2e^3t + e^4t
Agora substituímos isso na função original:
t(e^t+e^2t)^2 = t(e^2t + 2e^3t + e^4t)
Isso nos dá três termos para calcular a transformação de Laplace. Vamos separá-los:
  1. te^2t
  2. 2te^3t
  3. te^4t

Passo 3

Agora, vamos calcular a transformação de Laplace para cada um desses termos. Usamos a fórmula:
mathscrLte^at = 1(s-a)^2
onde te^2t é a constante que multiplica mathscrLte^2t = 1(s-2)^2 na função exponencial.
Para o primeiro termo: 2te^3t, mathscrL2te^3t = 2 cdot 1(s-3)^2 = 2(s-3)^2:
te^4t
Para o segundo termo: mathscrLte^4t = 1(s-4)^2, aqui teremos um fator de dois para multiplicar depois: :
Para o terceiro termo: , :

Passo 4

Agora que já calculamos as transformações para cada um dos termos, podemos somá-las para obter a transformação de Laplace completa:
mathscrLt(e^t+e^2t)^2 = 1(s-2)^2 + 2(s-3)^2 + 1(s-4)^2

Resposta

Portanto, a resposta final para a transformação de Laplace que queríamos calcular é:
mathscrLt(e^t+e^2t)^2 = 1(s-2)^2 + 2(s-3)^2 + 1(s-4)^2

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