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Passo 1
Então, vamos resolver a questão que envolve a transformação de Laplace de uma função. O enunciado nos pede para calcular
. Para resolver isso, vamos precisar entender como aplicar a transformação de Laplace e como lidar com as propriedades das funções que estão dentro dela. A fórmula básica da transformação de Laplace é dada por:
Neste caso, a função a ser transformada é um pouco mais complexa, então vamos desmembrá-la.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a função que temos dentro da transformação. A expressão
pode ser expandida. Vamos começar expandindo
:
Agora substituímos isso na função original:
Isso nos dá três termos para calcular a transformação de Laplace. Vamos separá-los:
Passo 3
Agora, vamos calcular a transformação de Laplace para cada um desses termos. Usamos a fórmula:
onde
Para o primeiro termo:
,
:
Para o segundo termo:
, aqui teremos um fator de dois para multiplicar depois:
:
Para o terceiro termo:
,
:
Passo 4
Agora que já calculamos as transformações para cada um dos termos, podemos somá-las para obter a transformação de Laplace completa:
Resposta
Portanto, a resposta final para a transformação de Laplace que queríamos calcular é: