;

Passo 1

Então, vamos resolver a questão que envolve a transformação de Laplace de uma função. O enunciado nos pede para calcular . Para resolver isso, vamos precisar entender como aplicar a transformação de Laplace e como lidar com as propriedades das funções que estão dentro dela. A fórmula básica da transformação de Laplace é dada por:

Neste caso, a função a ser transformada é um pouco mais complexa, então vamos desmembrá-la.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função que temos dentro da transformação. A expressão pode ser expandida. Vamos começar expandindo :

Agora substituímos isso na função original:
Isso nos dá três termos para calcular a transformação de Laplace. Vamos separá-los:

Passo 3

Agora, vamos calcular a transformação de Laplace para cada um desses termos. Usamos a fórmula:

onde é a constante que multiplica na função exponencial.
Para o primeiro termo: , :
Para o segundo termo: , aqui teremos um fator de dois para multiplicar depois: :
Para o terceiro termo: , :

Passo 4

Agora que já calculamos as transformações para cada um dos termos, podemos somá-las para obter a transformação de Laplace completa:

Resposta

Portanto, a resposta final para a transformação de Laplace que queríamos calcular é:

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