Encontrar a área da região limitada pelas curvas dadas em cada item a seguir: y = 1/6 x^2 e y = 6

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A tarefa é encontrar a área da região delimitada pelas curvas e y = 6. Para resolver isso, vamos usar cálculo, especificamente integrais, que nos ajudam a calcular áreas entre curvas.

Passo 2

Primeiro, precisamos descobrir onde essas duas curvas se encontram, ou seja, encontrar os valores de x que satisfazem ambas as equações simultaneamente. Isso nos dará os limites de integração.

Passo 3

Igualamos as duas equações para encontrar os pontos de interseção:

Passo 4

Vamos resolver essa equação para encontrar os valores de x:
Multiplicando ambos os lados por 6 para eliminar o denominador:
Agora, tirando a raiz quadrada de ambos os lados:
Então, as curvas se cruzam nos pontos e .

Passo 5

Com os limites de integração identificados ( e ), podemos configurar a integral que representa a área entre as curvas. A fórmula para a área A entre duas curvas e , onde f(x) está acima de g(x) no intervalo considerado, é:
Neste caso, e .

Passo 6

Substituindo na fórmula da integral:

Passo 7

Agora, vamos calcular essa integral. Primeiramente, dividimos em duas integrais separadas:
Calculando cada uma separadamente:
  1. Para :
  1. Para :

Passo 8

Subtraindo os resultados das integrais:

Resposta

A área da região limitada pelas curvas e y = 6 é unidades quadradas.

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