Encontrar a área da região limitada pelas curvas dadas em cada item a seguir: e
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A tarefa é encontrar a área da região delimitada pelas curvas e . Para resolver isso, vamos usar cálculo, especificamente integrais, que nos ajudam a calcular áreas entre curvas.
Passo 2
Primeiro, precisamos descobrir onde essas duas curvas se encontram, ou seja, encontrar os valores de que satisfazem ambas as equações simultaneamente. Isso nos dará os limites de integração.
Passo 3
Igualamos as duas equações para encontrar os pontos de interseção:
Passo 4
Vamos resolver essa equação para encontrar os valores de :
Multiplicando ambos os lados por 6 para eliminar o denominador:
Agora, tirando a raiz quadrada de ambos os lados:
Então, as curvas se cruzam nos pontos e .
Passo 5
Com os limites de integração identificados ( e ), podemos configurar a integral que representa a área entre as curvas. A fórmula para a área entre duas curvas e , onde está acima de no intervalo considerado, é:
Neste caso, e .
Passo 6
Substituindo na fórmula da integral:
Passo 7
Agora, vamos calcular essa integral. Primeiramente, dividimos em duas integrais separadas:
Calculando cada uma separadamente:
Para :
Para :
Passo 8
Subtraindo os resultados das integrais:
Resposta
A área da região limitada pelas curvas e é unidades quadradas.