(Volume da esfera de raio ) Calcule o volume do sólido obtido pela rotaçāo, em torno do eixo , do conjunto de todos os pares tais que .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o volume de um sólido que é formado ao girar, em torno do eixo , todos os pontos que satisfazem e . Isso está relacionado ao conteúdo de Geometria Analítica e Cálculo Integral, especificamente usando o método dos discos para encontrar volumes de sólidos de revolução.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região que está sendo girada. A inequação representa um círculo de raio centrado na origem. A condição indica que estamos considerando apenas a metade superior desse círculo, ou seja, a semicircunferência superior.

Passo 3

Para encontrar o volume do sólido de revolução formado ao girar essa região em torno do eixo , vamos usar o método dos discos. Esse método consiste em integrar a área de discos infinitesimais perpendicular ao eixo de rotação.

Passo 4

A fórmula geral para o volume usando o método dos discos é:
onde é a função que define a borda da região a ser girada, e é o intervalo de sobre o qual a região se estende.

Passo 5

No nosso caso, a função que define a semicircunferência superior é:
Essa é obtida resolvendo para .

Passo 6

Os limites de integração são de a , pois o círculo completo se estende de a no eixo . Porém, como estamos considerando apenas , podemos simplificar a integral de a e depois multiplicar o resultado por 2.

Passo 7

Agora, substituindo na fórmula do volume:
Simplificando o integrando:
Então, a integral fica:

Passo 8

Vamos calcular a integral:
Substituindo os limites:

Passo 9

Agora, multiplicamos pelo :

Resposta

O volume do sólido obtido pela rotação é:

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