Resolver a seguinte integral usando a técnica das frações parciais:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para resolver a integral
usando a técnica das frações parciais. Isso significa que vamos quebrar essa fração em partes mais simples que são mais fáceis de integrar. Para isso, vamos precisar entender como decompor frações racionais e aplicar um pouco de álgebra.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os fatores do denominador:
e
. Como
está ao quadrado, ele tem multiplicidade 2. Isso influencia na nossa decomposição das frações parciais. A ideia é escrever a fração original como a soma de termos mais simples.
Passo 3
Vamos supor que:
Aqui,
,
e
são constantes que precisamos encontrar. Esse é o passo básico das frações parciais: assumir uma forma e depois determinar os coeficientes.
Passo 4
Para encontrar os valores de
,
e
, multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum
para eliminar as frações:
Agora, vamos escolher valores de
que simplifiquem a equação:
- Para
:
- Para
:
Passo 5
Agora, para encontrar
, podemos expandir a equação original e comparar os coeficientes:
Vamos agrupar os termos semelhantes:
Comparando os coeficientes de ambos os lados:
- Coeficiente de
:
- Coeficiente de
:
- Termo constante:
Resposta
Agora que temos os valores de
,
e
, podemos reescrever a integral:
Integrando cada termo separadamente:
Calculando as integrais:
Onde
é a constante de integração. Então, a solução final é: