Resolver a seguinte integral usando a técnica das frações parciais:
integral 2 x+3(x-1)^2(x+2) d x.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para resolver a integral usando a técnica das frações parciais. Isso significa que vamos quebrar essa fração em partes mais simples que são mais fáceis de integrar. Para isso, vamos precisar entender como decompor frações racionais e aplicar um pouco de álgebra.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os fatores do denominador: e . Como está ao quadrado, ele tem multiplicidade 2. Isso influencia na nossa decomposição das frações parciais. A ideia é escrever a fração original como a soma de termos mais simples.

Passo 3

Vamos supor que:
2x + 3(x - 1)^2(x + 2) = Ax - 1 + B(x - 1)^2 + Cx + 2
Aqui, , e são constantes que precisamos encontrar. Esse é o passo básico das frações parciais: assumir uma forma e depois determinar os coeficientes.

Passo 4

Para encontrar os valores de 2x + 3 = A(x - 1)(x + 2) + B(x + 2) + C(x - 1)^2 , 2(1) + 3 = A(0)(3) + B(3) + C(0) e 5 = 3B implies B = 53 , multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum 2(-2) + 3 = A(-3)(0) + B(0) + C(-3)^2 para eliminar as frações:
-1 = 9C implies C = -19
Agora, vamos escolher valores de que simplifiquem a equação:
  1. Para :
  1. Para :

Passo 5

Agora, para encontrar 2x + 3 = A(x^2 + x - 2) + 53(x + 2) - 19(x^2 - 2x + 1) , podemos expandir a equação original e comparar os coeficientes:
2x + 3 = (A - 19)x^2 + (A + 53 + 29)x + (-2A + 103 - 19)
Vamos agrupar os termos semelhantes:
A - 19 = 0 implies A = 19
Comparando os coeficientes de ambos os lados:
  1. Coeficiente de 19 + 53 + 29 = 2 implies 1 + 15 + 29 = 2 implies 189 = 2 (confere) :
-2(19) + 103 - 19 = 3 implies -29 + 309 - 19 = 279 = 3 (confere)
  1. Coeficiente de :
  1. Termo constante:

Resposta

Agora que temos os valores de integral ( 19x - 1 + 53(x - 1)^2 - 19x + 2 ) dx , 19 integral 1x - 1 , dx + 53 integral 1(x - 1)^2 , dx - 19 integral 1x + 2 , dx e 19 ln|x - 1| - 53 cdot 1x - 1 - 19 ln|x + 2| + C , podemos reescrever a integral:
19 ln|x - 1| - 53(x - 1) - 19 ln|x + 2| + C
Integrando cada termo separadamente:
Calculando as integrais:
Onde é a constante de integração. Então, a solução final é:

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