Resolver a seguinte integral usando a técnica das frações parciais:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral:
. A gente vai usar a técnica das frações parciais, que faz parte do conteúdo de cálculo integral. Para isso, precisamos fatorar o denominador e decompor a fração em partes mais simples que a gente consegue integrar mais facilmente.
Passo 2
Primeiro, vamos fatorar o denominador
. Precisamos encontrar dois números que multiplicados dão
e que somados dão
(o coeficiente de
). Esses números são
e
, porque
e
. Então, podemos escrever:
Passo 3
Agora, vamos escrever a fração
como uma soma de frações parciais. A ideia é encontrar constantes
e
tais que:
Passo 4
Multiplicando ambos os lados da equação por
para eliminar os denominadores, temos:
Expandindo o lado direito:
Juntando os termos semelhantes:
Passo 5
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação:
Para os termos de
:
Para os termos constantes:
Passo 6
Vamos resolver esse sistema de equações. Da primeira equação, temos:
Substituindo
na segunda equação:
Agora, substituindo
na equação
:
Passo 7
Então, a decomposição em frações parciais fica:
Podemos simplificar:
Passo 8
Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
Integrando termo a termo:
Passo 9
Sabemos que
. Aplicando isso aos dois termos:
Resposta
A integral vale: