Resolver a seguinte integral usando a técnica das frações parciais:
integral 2 x+3x^2+x-2 d x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: integral 2x + 3x^2 + x - 2 , dx. A gente vai usar a técnica das frações parciais, que faz parte do conteúdo de cálculo integral. Para isso, precisamos fatorar o denominador e decompor a fração em partes mais simples que a gente consegue integrar mais facilmente.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador x^2 + x - 2. Precisamos encontrar dois números que multiplicados dão -2 e que somados dão 1 (o coeficiente de x). Esses números são 2 e -1, porque 2 times (-1) = -2 e 2 + (-1) = 1. Então, podemos escrever:
x^2 + x - 2 = (x + 2)(x - 1)

Passo 3

Agora, vamos escrever a fração 2x + 3(x + 2)(x - 1) como uma soma de frações parciais. A ideia é encontrar constantes A e B tais que:
2x + 3(x + 2)(x - 1) = Ax + 2 + Bx - 1

Passo 4

Multiplicando ambos os lados da equação por (x + 2)(x - 1) para eliminar os denominadores, temos:
2x + 3 = A(x - 1) + B(x + 2)
Expandindo o lado direito:
2x + 3 = A x - A + B x + 2B
Juntando os termos semelhantes:
2x + 3 = (A + B)x + (-A + 2B)

Passo 5

Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação:
Para os termos de x:
A + B = 2
Para os termos constantes:
- A + 2B = 3

Passo 6

Vamos resolver esse sistema de equações. Da primeira equação, temos:
A = 2 - B
Substituindo A na segunda equação:
- (2 - B) + 2B = 3 -2 + B + 2B = 3 3B - 2 = 3 3B = 5 B = 53
Agora, substituindo B na equação A = 2 - B:
A = 2 - 53 = 63 - 53 = 13

Passo 7

Então, a decomposição em frações parciais fica:
2x + 3(x + 2)(x - 1) = 13x + 2 + 53x - 1
Podemos simplificar:
2x + 3x^2 + x - 2 = 13(x + 2) + 53(x - 1)

Passo 8

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
integral 2x + 3x^2 + x - 2 , dx = integral ( 13(x + 2) + 53(x - 1) ) dx
Integrando termo a termo:
= 13 integral 1x + 2 , dx + 53 integral 1x - 1 , dx

Passo 9

Sabemos que integral 1u , du = ln|u| + C. Aplicando isso aos dois termos:
= 13 ln|x + 2| + 53 ln|x - 1| + C

Resposta

A integral vale:
13 ln|x + 2| + 53 ln|x - 1| + C

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