Encontrar as derivada laterais no ponto x_0 indicado, caso existam, das funções dadas a seguir: f(x) = { raiz(1 - x), se x < 1; (1 - x)^2, se x ≥ 1; x0 = 1 }

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar as derivadas laterais no ponto da função definida por partes:
O conteúdo que vamos usar aqui é o cálculo de derivadas, mais especificamente as derivadas laterais, que são as derivadas quando nos aproximamos do ponto pela esquerda e pela direita. Para resolver isso, vamos calcular o limite da taxa de variação da função quando se aproxima de 1 por valores menores e maiores que 1.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada pela esquerda de . Quando se aproxima de 1 pela esquerda ( ), a função é dada por .
A derivada de uma função em um ponto é o limite da taxa de variação da função nesse ponto. Então, a derivada pela esquerda é:
Como , temos:
Para simplificar, substituímos por , onde :
Então, a derivada pela esquerda é não existe (tende a menos infinito).

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada pela direita de . Quando se aproxima de 1 pela direita ( ), a função é dada por .
A derivada pela direita é:
Como , temos:
Portanto, a derivada pela direita é 0.

Resposta

As derivadas laterais no ponto são:
  • Derivada pela esquerda: Não existe (tende a menos infinito).
  • Derivada pela direita: 0.

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