Encontrar as derivada laterais no ponto
indicado, caso existam, das funções dadas a seguir:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar as derivadas laterais no ponto
da função definida por partes:
O conteúdo que vamos usar aqui é o cálculo de derivadas, mais especificamente as derivadas laterais, que são as derivadas quando nos aproximamos do ponto
pela esquerda e pela direita. Para resolver isso, vamos calcular o limite da taxa de variação da função quando
se aproxima de 1 por valores menores e maiores que 1.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada pela esquerda de
. Quando
se aproxima de 1 pela esquerda (
), a função é dada por
.
A derivada de uma função em um ponto é o limite da taxa de variação da função nesse ponto. Então, a derivada pela esquerda é:
Como
, temos:
Para simplificar, substituímos
por
, onde
:
Então, a derivada pela esquerda é não existe (tende a menos infinito).
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada pela direita de
. Quando
se aproxima de 1 pela direita (
), a função é dada por
.
A derivada pela direita é:
Como
, temos:
Portanto, a derivada pela direita é 0.
Resposta
As derivadas laterais no ponto
são:
- Derivada pela esquerda: Não existe (tende a menos infinito).
- Derivada pela direita: 0.
Exercícios relacionados
Encontrar as derivada laterais no ponto
indicado, caso existam, das funções dadas a seguir:
Determine
, a derivada da função
em
, em cada item abaixo e nos pontos
indicados:
Calcule a derivada das funções abaixo, simplificando sempre que possível:
Seja
. Verifique se
é derivável em
.