Encontrar a derivada de ordem 100 de .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a derivada de ordem 100 da função . Vamos usar conceitos de derivadas e propriedades das funções trigonométricas para chegar à resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar como são as derivadas da função seno. Sabemos que:
Percebeu que a cada quatro derivadas voltamos à função original? Isso significa que as derivadas de são periódicas com período 4.

Passo 3

Agora, como queremos a derivada de ordem 100, precisamos descobrir em qual posição do ciclo de 4 ela está. Para isso, vamos dividir 100 por 4 e ver o resto da divisão:
O resto é 0, o que significa que a 100ª derivada está na mesma posição que a 4ª derivada no ciclo.

Passo 4

Como vimos anteriormente, a 4ª derivada de é:
Isso indica que a cada múltiplo de 4 derivadas, voltamos à função original .

Resposta

A derivada de ordem 100 de é .

Exercícios relacionados

Calcular se .
Calcule as derivadas das funções abaixo usando as regras de derivação:
Sabendo que está definida implicitamente nas equações abaixo, calcule :
Sabendo que a diferencial é definida por , calcular as diferenciais das equações dadas: