Encontrar a derivada de ordem 100 de
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a derivada de ordem 100 da função
. Vamos usar conceitos de derivadas e propriedades das funções trigonométricas para chegar à resposta.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar como são as derivadas da função seno. Sabemos que:
Percebeu que a cada quatro derivadas voltamos à função original? Isso significa que as derivadas de
são periódicas com período 4.
Passo 3
Agora, como queremos a derivada de ordem 100, precisamos descobrir em qual posição do ciclo de 4 ela está. Para isso, vamos dividir 100 por 4 e ver o resto da divisão:
O resto é 0, o que significa que a 100ª derivada está na mesma posição que a 4ª derivada no ciclo.
Passo 4
Como vimos anteriormente, a 4ª derivada de
é:
Isso indica que a cada múltiplo de 4 derivadas, voltamos à função original
.
Resposta
A derivada de ordem 100 de
é
.
Exercícios relacionados
Calcular
se
.
Calcule as derivadas das funções abaixo usando as regras de derivação:
Sabendo que
está definida implicitamente nas equações abaixo, calcule
:
Sabendo que a diferencial é definida por
, calcular as diferenciais das equações dadas: