Usando a regra de derivação implícita, encontrar
em termos de
e
:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de derivação implícita! A gente tem a equação
e precisamos encontrar
em termos de
e
. Para isso, vamos usar as regras de derivação implícita, que são úteis quando
está misturado com
de forma que não dá pra isolar
facilmente.
Passo 2
Primeiro, vamos derivar cada termo da equação em relação a
. Lembrando que
é uma função de
, então quando derivamos termos que envolvem
, usamos a regra da cadeia. Vamos lá:
Derivando
em relação a
:
Derivando
em relação a
usando a regra do produto:
Aqui, derivamos
e mantivemos
, depois mantivemos
e derivamos
, lembrando que
aparece porque
é função de
.
Derivando
em relação a
usando a regra da cadeia:
Passo 3
Agora, substituímos as derivadas na equação original derivada:
Nosso objetivo é isolar
. Vamos agrupar os termos que contêm
de um lado e os demais termos do outro lado:
Passo 4
Fatorando
no lado esquerdo da equação:
Agora, para encontrar
, dividimos ambos os lados da equação por
:
Resposta
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das seguintes funções:
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Encontre os pontos de máximo e de mínimo, bem como os valores máximos e mínimos das funções dadas, nos intervalos indicados:
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