Esboce a região de integração e calcule a integral trocando a ordem de integração
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma integral dupla:
O objetivo é esboçar a região de integração e calcular essa integral mudando a ordem de integração. Para resolver isso, precisamos entender os limites de integração atuais e como eles se relacionam para poder trocar a ordem.
Passo 2
Vamos começar esboçando a região de integração no plano xy. A integral está integrada em y de 0 a 1 e, para cada y, x varia de até 1.
Isso significa que, no gráfico:
O eixo y vai de 0 a 1.
Para cada valor de y, x começa em e vai até 1.
Para visualizar, desenhe um gráfico com x e y entre 0 e 1. A curva é equivalente a . Então, a região de integração está entre essa curva e x = 1, de y = 0 a y = 1.
Passo 3
Agora, vamos trocar a ordem de integração. Atualmente, estamos integrando primeiro em x e depois em y. Queremos integrar primeiro em y e depois em x.
Para isso, precisamos determinar os novos limites de integração:
x varia de 0 a 1.
Para cada x, y varia de 0 até .
Portanto, a integral com a ordem trocada fica:
Passo 4
Agora, vamos calcular a integral com a nova ordem. Primeiro, integramos em y:
Aqui, a função não depende de y, então a integral em y é simplesmente:
Passo 5
Agora, precisamos integrar a expressão resultante em relação a x de 0 a 1:
integral0^1 2 pi x sin (pi x^2) , dx
Para resolver essa integral, podemos usar a substituição integral0^pi sin(u) , du = -cos(u) |0^pi = -cos(pi) + cos(0) = -(-1) + 1 = 2 , então . Isso simplifica a integral para: