Esboce a região de integração e calcule a integral trocando a ordem de integração
integral0^1 integraly^1 / 3^1 2 pi sin (pi x^2)x^2 d x d y

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma integral dupla:
integral0^1 integraly^1 / 3^1 2 pi sin (pi x^2)x^2 , dx , dy
O objetivo é esboçar a região de integração e calcular essa integral mudando a ordem de integração. Para resolver isso, precisamos entender os limites de integração atuais e como eles se relacionam para poder trocar a ordem.

Passo 2

Vamos começar esboçando a região de integração no plano xy. A integral está integrada em y de 0 a 1 e, para cada y, x varia de até 1.
Isso significa que, no gráfico:
  • O eixo y vai de 0 a 1.
  • Para cada valor de y, x começa em e vai até 1.
Para visualizar, desenhe um gráfico com x e y entre 0 e 1. A curva é equivalente a . Então, a região de integração está entre essa curva e x = 1, de y = 0 a y = 1.

Passo 3

Agora, vamos trocar a ordem de integração. Atualmente, estamos integrando primeiro em x e depois em y. Queremos integrar primeiro em y e depois em x.
Para isso, precisamos determinar os novos limites de integração:
  • x varia de 0 a 1.
  • Para cada x, y varia de 0 até integral0^1 integral0^x^3 2 pi sin (pi x^2)x^2 , dy , dx .
Portanto, a integral com a ordem trocada fica:

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral com a nova ordem. Primeiro, integramos em y:
integral0^x^3 2 pi sin (pi x^2)x^2 , dy
Aqui, a função 2 pi sin (pi x^2)x^2 cdot y |0^x^3 = 2 pi sin (pi x^2)x^2 cdot x^3 = 2 pi x sin (pi x^2) não depende de y, então a integral em y é simplesmente:

Passo 5

Agora, precisamos integrar a expressão resultante em relação a x de 0 a 1:
integral0^1 2 pi x sin (pi x^2) , dx
Para resolver essa integral, podemos usar a substituição integral0^pi sin(u) , du = -cos(u) |0^pi = -cos(pi) + cos(0) = -(-1) + 1 = 2 , então . Isso simplifica a integral para:

Resposta

O valor da integral é 2.

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