Integrar as equações diferenciais exatas.
Passo 1
Beleza, temos uma equação diferencial exata que precisamos integrar. Isso faz parte do estudo de equações diferenciais, onde lidamos com funções e suas derivadas. Para resolver isso, vamos identificar uma função potencial que, ao derivarmos parcialmente, nos dê os termos da equação original.
Passo 2
Primeiro, vamos chamar os coeficientes de
e
:
Como a equação é exata, sabemos que existe uma função
tal que:
Passo 3
Vamos integrar
em relação a
para encontrar
:
A primeira parte da integral:
Faz uma substituição
, então
, e a integral fica:
A segunda parte:
Então, temos:
Onde
é uma função que depende apenas de
.
Passo 4
Agora, vamos usar a segunda condição
para encontrar
. Derivando
em relação a
:
Simplificando:
Igualando a
:
Resolvendo para
:
Observando que
não deve aparecer em
, percebemos que houve um erro na abordagem. Vamos ajustar nossa integração inicial.
Passo 5
Reavaliando a integração, notamos que a função
deve ser tal que
sem depender de
. Portanto, ajustamos
:
Derivando em relação a
:
Igualando a
:
Rearranjando:
Simplificando a fração:
Note que ainda há dependência de
, o que indica que a equação não é exata ou houve um erro na aplicação.
Resposta
Após verificar os cálculos, observamos inconsistências que sugerem que a equação diferencial fornecida pode não ser exata ou requer uma abordagem diferente. Recomenda-se revisar os passos ou utilizar métodos alternativos de integração para resolver a equação.