Encontrar o envelope das famílias de curvas

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos uma família de curvas definida pela equação , onde é um parâmetro que pode variar. Nosso objetivo aqui é encontrar o envelope dessa família de curvas.
O que é um envelope? Imagina que você tem várias curvas que mudam conforme um parâmetro . O envelope é uma curva que toca todas essas curvas da família em pelo menos um ponto. Para encontrar esse envelope, vamos precisar usar um pouco de cálculo, especificamente derivadas parciais.

Passo 2

Vamos começar identificando a equação geral da nossa família de curvas:
Aqui, representa todas as curvas da família para diferentes valores de .

Passo 3

Para encontrar o envelope, precisamos usar a seguinte condição: além de , a derivada parcial de em relação a também deve ser igual a zero. Isso significa que:
Vamos calcular essa derivada.

Passo 4

Calculemos a derivada parcial de em relação a :
Derivando termo a termo:
Então, temos:

Passo 5

Agora, temos um sistema de duas equações para resolver:
Vamos resolver a segunda equação para :

Passo 6

Agora que encontramos , vamos substituir esse valor na primeira equação para eliminar :
Simplificando:

Passo 7

Vamos isolar os termos para obter a equação do envelope:
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 4:

Resposta

O envelope das famílias de curvas é a parábola dada por:

Exercícios relacionados

Integrar as equações diferenciais exatas.
Encontrar o valor aproximado da expressão .
Sendo , calcule a derivada direcional de no ponto , na direção da reta e sentido crescente do eixo .
Integrar as equações diferenciais homogêneas.