Encontrar o envelope das famílias de curvas
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos uma família de curvas definida pela equação
, onde
é um parâmetro que pode variar. Nosso objetivo aqui é encontrar o envelope dessa família de curvas.
O que é um envelope? Imagina que você tem várias curvas que mudam conforme um parâmetro
. O envelope é uma curva que toca todas essas curvas da família em pelo menos um ponto. Para encontrar esse envelope, vamos precisar usar um pouco de cálculo, especificamente derivadas parciais.
Passo 2
Vamos começar identificando a equação geral da nossa família de curvas:
Aqui,
representa todas as curvas da família para diferentes valores de
.
Passo 3
Para encontrar o envelope, precisamos usar a seguinte condição: além de
, a derivada parcial de
em relação a
também deve ser igual a zero. Isso significa que:
Vamos calcular essa derivada.
Passo 4
Calculemos a derivada parcial de
em relação a
:
Derivando termo a termo:
Então, temos:
Passo 5
Agora, temos um sistema de duas equações para resolver:
Vamos resolver a segunda equação para
:
Passo 6
Agora que encontramos
, vamos substituir esse valor na primeira equação para eliminar
:
Simplificando:
Passo 7
Vamos isolar os termos para obter a equação do envelope:
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 4:
Resposta
O envelope das famílias de curvas
é a parábola dada por:
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Encontrar o valor aproximado da expressão
.
Sendo
, calcule a derivada direcional de
no ponto
, na direção da reta
e sentido crescente do eixo
.
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