Sendo , calcule a derivada direcional de no ponto , na direção da reta e sentido crescente do eixo .

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para calcular a derivada direcional da função no ponto , na direção da reta e no sentido crescente do eixo . Para isso, vamos precisar entender o que é derivada direcional, como calcular o gradiente da função e como determinar a direção na qual vamos calcular essa derivada.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o gradiente da função . O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais da função em relação a e .
A derivada parcial de em relação a é:
A derivada parcial de em relação a é:
Portanto, o gradiente de é:

Passo 3

Agora, vamos determinar a direção na qual queremos calcular a derivada direcional. A direção é dada pela reta . Um vetor diretor dessa reta pode ser obtido a partir dos coeficientes de e , que são .

Passo 4

Para calcular a derivada direcional, precisamos do vetor unitário na direção da reta. Um vetor unitário tem comprimento 1. Vamos calcular a norma do vetor :
Então, o vetor unitário é:

Passo 5

A derivada direcional de na direção de é o produto escalar do gradiente de com o vetor unitário :

Passo 6

Finalmente, vamos avaliar essa expressão no ponto :

Resposta

A derivada direcional de no ponto na direção da reta e sentido crescente do eixo é .

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