Sendo
, calcule a derivada direcional de
no ponto
, na direção da reta
e sentido crescente do eixo
.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para calcular a derivada direcional da função
no ponto
, na direção da reta
e no sentido crescente do eixo
. Para isso, vamos precisar entender o que é derivada direcional, como calcular o gradiente da função e como determinar a direção na qual vamos calcular essa derivada.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o gradiente da função
. O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais da função em relação a
e
.
A derivada parcial de
em relação a
é:
A derivada parcial de
em relação a
é:
Portanto, o gradiente de
é:
Passo 3
Agora, vamos determinar a direção na qual queremos calcular a derivada direcional. A direção é dada pela reta
. Um vetor diretor dessa reta pode ser obtido a partir dos coeficientes de
e
, que são
.
Passo 4
Para calcular a derivada direcional, precisamos do vetor unitário na direção da reta. Um vetor unitário tem comprimento 1. Vamos calcular a norma do vetor
:
Então, o vetor unitário
é:
Passo 5
A derivada direcional de
na direção de
é o produto escalar do gradiente de
com o vetor unitário
:
Passo 6
Finalmente, vamos avaliar essa expressão no ponto
:
Resposta
A derivada direcional de
no ponto
na direção da reta
e sentido crescente do eixo
é
.
Exercícios relacionados
Encontrar o envelope das famílias de curvas
Integrar as equações diferenciais exatas.
Integrar as equações diferenciais homogêneas.
Integrar as equações diferenciais lineares