Integrar as equações diferenciais homogêneas.

Passo 1

Beleza, nosso desafio aqui é resolver uma equação diferencial homogênea. A equação que vamos integrar é:
Para isso, vamos precisar entender o que é uma equação diferencial homogênea e como podemos simplificá-la usando substituições que facilitam a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para ter uma forma mais clara. Dividindo ambos os lados por , ficamos com:
Aqui, percebemos que a equação pode ser simplificada usando a substituição . Isso ajuda a transformar a equação original em uma que depende apenas de e , facilitando a integração.

Passo 3

Vamos fazer a substituição . Para isso, precisamos expressar em termos de e . Derivando ambos os lados em relação a :
Agora, substituímos e na equação original:
Simplificando:

Passo 4

Distribuindo no lado esquerdo:
Agora, vamos trazer todos os termos com para um lado e os termos com para o outro:
Simplificando a expressão dentro dos parênteses:
Mas para facilitar, vamos reorganizar a equação original de forma diferente.

Passo 5

Voltando à expressão após a substituição:
Vamos mover todos os termos com para o lado direito:
Isso simplifica para:
Podemos fatorar :
Mas essa abordagem complica mais. Vamos tentar uma alternativa.

Passo 6

Vamos reorganizar a equação de forma a separar as variáveis. A equação após substituição ficou:
Dividindo ambos os lados por :
Distribuindo :
Agora, vamos mover todos os termos com para um lado:
Novamente, essa abordagem não está levando a uma separação clara. Para simplificar, vamos considerar outra substituição ou abordagem.

Passo 7

Vamos tentar uma abordagem direta usando a substituição . Sabemos que:
Agora, retornando à equação original:
Substituindo e :
Simplificando:
Dividindo ambos os lados por :
Distribuindo :
Subtraindo de ambos os lados:

Passo 8

Agora, temos uma equação mais simples:
Podemos reescrever isso para separar as variáveis:
Isso nos permite integrar ambos os lados facilmente.

Passo 9

Integrando ambos os lados:
Calculando as integrais:
Onde é a constante de integração.

Passo 10

Lembrando que , substituímos de volta:
Multiplicando ambos os lados por :
Onde .

Passo 11

Finalmente, isolando :
Ou, de forma explícita:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é a constante de integração.

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