Integrar as equações diferenciais homogêneas.
Passo 1
Beleza, nosso desafio aqui é resolver uma equação diferencial homogênea. A equação que vamos integrar é:
Para isso, vamos precisar entender o que é uma equação diferencial homogênea e como podemos simplificá-la usando substituições que facilitam a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para ter uma forma mais clara. Dividindo ambos os lados por
, ficamos com:
Aqui, percebemos que a equação pode ser simplificada usando a substituição
. Isso ajuda a transformar a equação original em uma que depende apenas de
e
, facilitando a integração.
Passo 3
Vamos fazer a substituição
. Para isso, precisamos expressar
em termos de
e
. Derivando ambos os lados em relação a
:
Agora, substituímos
e
na equação original:
Simplificando:
Passo 4
Distribuindo
no lado esquerdo:
Agora, vamos trazer todos os termos com
para um lado e os termos com
para o outro:
Simplificando a expressão dentro dos parênteses:
Mas para facilitar, vamos reorganizar a equação original de forma diferente.
Passo 5
Voltando à expressão após a substituição:
Vamos mover todos os termos com
para o lado direito:
Isso simplifica para:
Podemos fatorar
:
Mas essa abordagem complica mais. Vamos tentar uma alternativa.
Passo 6
Vamos reorganizar a equação de forma a separar as variáveis. A equação após substituição ficou:
Dividindo ambos os lados por
:
Distribuindo
:
Agora, vamos mover todos os termos com
para um lado:
Novamente, essa abordagem não está levando a uma separação clara. Para simplificar, vamos considerar outra substituição ou abordagem.
Passo 7
Vamos tentar uma abordagem direta usando a substituição
. Sabemos que:
Agora, retornando à equação original:
Substituindo
e
:
Simplificando:
Dividindo ambos os lados por
:
Distribuindo
:
Subtraindo
de ambos os lados:
Passo 8
Agora, temos uma equação mais simples:
Podemos reescrever isso para separar as variáveis:
Isso nos permite integrar ambos os lados facilmente.
Passo 9
Integrando ambos os lados:
Calculando as integrais:
Onde
é a constante de integração.
Passo 10
Lembrando que
, substituímos de volta:
Multiplicando ambos os lados por
:
Onde
.
Passo 11
Finalmente, isolando
:
Ou, de forma explícita:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é a constante de integração.
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Sendo
, calcule a derivada direcional de
no ponto
, na direção da reta
e sentido crescente do eixo
.
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