Integrar as equações diferenciais exatas.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial exata que é a seguinte:
Aqui, estamos lidando com equações diferenciais exatas. Para resolver, vamos precisar identificar se a equação é exata, encontrar uma função potencial tal que , e então determinar a solução geral.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação. Multiplicando ambos os lados por , temos:
Agora, identifique e .

Passo 3

Para verificar se a equação é exata, precisamos conferir se:
Calculando as derivadas parciais:
Como , a equação não é exata. Portanto, precisamos encontrar um fator integrante que torne a equação exata.

Passo 4

Vamos procurar um fator integrante que depende apenas de . Suponha que o fator seja . Multiplicando a equação por :
Para que a equação seja exata:
Resolvendo essa condição, descobrimos que .

Passo 5

Agora, multiplique a equação original por :
Agora, a equação é exata. Vamos encontrar a função potencial tal que:
Integrando em relação a :
Onde é uma função de .

Passo 6

Agora, vamos determinar usando a condição:
Derivando em relação a :
Assim, temos:
Integrando :

Passo 7

Agora, combinando tudo, a função potencial é:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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