Integrar as equações diferenciais exatas.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial exata que é a seguinte:
Aqui, estamos lidando com equações diferenciais exatas. Para resolver, vamos precisar identificar se a equação é exata, encontrar uma função potencial
tal que
, e então determinar a solução geral.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação. Multiplicando ambos os lados por
, temos:
Agora, identifique
e
.
Passo 3
Para verificar se a equação é exata, precisamos conferir se:
Calculando as derivadas parciais:
Como
, a equação não é exata. Portanto, precisamos encontrar um fator integrante que torne a equação exata.
Passo 4
Vamos procurar um fator integrante que depende apenas de
. Suponha que o fator seja
. Multiplicando a equação por
:
Para que a equação seja exata:
Resolvendo essa condição, descobrimos que
.
Passo 5
Agora, multiplique a equação original por
:
Agora, a equação é exata. Vamos encontrar a função potencial
tal que:
Integrando em relação a
:
Onde
é uma função de
.
Passo 6
Agora, vamos determinar
usando a condição:
Derivando
em relação a
:
Assim, temos:
Integrando
:
Passo 7
Agora, combinando tudo, a função potencial é:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
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.
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Sendo
, calcule a derivada direcional de
no ponto
, na direção da reta
e sentido crescente do eixo
.