Integrar as equações de Clairaut
Passo 1
Beleza, primeiramente vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem uma equação diferencial chamada Equação de Clairaut:
Aqui,
representa a derivada de
em relação a
. Nosso objetivo é resolver essa equação, ou seja, encontrar a função
que satisfaz essa relação. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo diferencial, especialmente sobre equações diferenciais de primeira ordem.
Passo 2
Vamos começar reorganizando a equação para deixar tudo em termos de
. A equação original é:
Vamos isolar a raiz:
Agora, vamos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Passo 3
Expandindo o lado esquerdo da equação:
Agora, vamos juntar os termos que contêm
:
Factorando
:
Passo 4
Vamos reorganizar a equação para facilitar a resolução:
Isso parece uma equação quadrática em termos de
. Podemos resolver usando a fórmula de Bhaskara para encontrar
.
Passo 5
Aplicando a fórmula de Bhaskara para a equação quadrática
:
Aqui, temos:
Substituindo esses valores na fórmula:
Passo 6
Simplificando o discriminante dentro da raiz:
Distribuindo o -4:
Simplificando:
Passo 7
Voltando à expressão para
:
Extraindo o 4 de dentro da raiz:
Cancelando o 2:
Passo 8
Agora, temos duas possíveis soluções para
. No entanto, para encontrar a solução geral da Equação de Clairaut, reconhecemos que a equação pode ser expressa na forma padrão:
Comparando com a nossa equação original, vemos que
.
A solução geral de uma Equação de Clairaut é dada por:
Onde
é uma constante que representa
.
Passo 9
Aplicando isso à nossa equação, temos:
Essa é a solução geral da Equação de Clairaut dada.
Resposta
A solução geral da Equação de Clairaut
é:
Onde
é uma constante real.