Integrar as equações de Clairaut
y = x * y' + raiz(1 - (y')^2)

Passo 1

Beleza, primeiramente vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem uma equação diferencial chamada Equação de Clairaut:
Aqui, representa a derivada de em relação a . Nosso objetivo é resolver essa equação, ou seja, encontrar a função que satisfaz essa relação. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo diferencial, especialmente sobre equações diferenciais de primeira ordem.

Passo 2

Vamos começar reorganizando a equação para deixar tudo em termos de . A equação original é:
Vamos isolar a raiz:
Agora, vamos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:

Passo 3

Expandindo o lado esquerdo da equação:
Agora, vamos juntar os termos que contêm :
Factorando :

Passo 4

Vamos reorganizar a equação para facilitar a resolução:
Isso parece uma equação quadrática em termos de . Podemos resolver usando a fórmula de Bhaskara para encontrar .

Passo 5

Aplicando a fórmula de Bhaskara para a equação quadrática :
Aqui, temos:
Substituindo esses valores na fórmula:

Passo 6

Simplificando o discriminante dentro da raiz:
Distribuindo o -4:
Simplificando:

Passo 7

Voltando à expressão para :
Extraindo o 4 de dentro da raiz:
Cancelando o 2:

Passo 8

Agora, temos duas possíveis soluções para . No entanto, para encontrar a solução geral da Equação de Clairaut, reconhecemos que a equação pode ser expressa na forma padrão:
Comparando com a nossa equação original, vemos que .
A solução geral de uma Equação de Clairaut é dada por:
Onde é uma constante que representa .

Passo 9

Aplicando isso à nossa equação, temos:
Essa é a solução geral da Equação de Clairaut dada.

Resposta

A solução geral da Equação de Clairaut é:
Onde é uma constante real.

Exercícios relacionados