Sejam
uma base de
e
um conjunto de vetores linearmente independentes do
. Se as coordenadas na base
destes vetores são
e
, então:
(A)
(B)
©
(D)
(E) Não sei
(A)
(B)
©
(D)
(E) Não sei
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma base
do
e um conjunto de vetores
que são linearmente independentes nesse espaço. As coordenadas desses vetores na base
são dadas por
e
. Nosso objetivo é encontrar qual das alternativas de matrizes relaciona as bases
e
.
Para resolver isso, vamos precisar entender como relacionar duas bases através de matrizes de transformação e como utilizar as coordenadas dos vetores em uma base para expressá-los na outra.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar que se temos uma base
e vetores expressos nessa base, podemos relacionar as duas bases usando uma matriz de mudança de base. A relação geral é:
Aqui,
é a matriz cujas colunas são os vetores
e
na base canônica,
é a matriz das bases, e
é a matriz das coordenadas dos vetores na base
.
Passo 3
Queremos encontrar
. Para isso, podemos reorganizar a equação anterior:
Isso significa que a matriz das bases
é igual à matriz dos vetores
e
multiplicada pela inversa da matriz das coordenadas desses vetores na base
.
Passo 4
Agora, vamos substituir pelas coordenadas fornecidas no enunciado:
Portanto, a expressão para
fica:
Resposta
A alternativa correta é a letra (A):