Sejam beta=b1, b2 uma base de R^2 e v1, v2 um conjunto de vetores linearmente independentes do R^2. Se as coordenadas na base beta destes vetores são [v1]beta=(2,-1) e [v2]beta=(4,-4), então:
(A) [llb1 & b2]=[llv1 & v2][ll2 & -1 4 & -4]^-1
(B) [llb1 & b2]=[llv1 & v2][ll2 & -1 4 & -4]
© [llb1 & b2]=[llv1 & v2][rr2 & 4 -1 & -4]^-1
(D) [llb1 & b2]=[llv1 & v2][ll2 & -1 4 & -4]
(E) Não sei

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma base do e um conjunto de vetores que são linearmente independentes nesse espaço. As coordenadas desses vetores na base são dadas por e . Nosso objetivo é encontrar qual das alternativas de matrizes relaciona as bases e .
Para resolver isso, vamos precisar entender como relacionar duas bases através de matrizes de transformação e como utilizar as coordenadas dos vetores em uma base para expressá-los na outra.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que se temos uma base [v1 v2] = [b1 b2] cdot [ [v1]beta [v2]beta ] e vetores expressos nessa base, podemos relacionar as duas bases usando uma matriz de mudança de base. A relação geral é:
Aqui, é a matriz cujas colunas são os vetores e na base canônica, é a matriz das bases, e é a matriz das coordenadas dos vetores na base .

Passo 3

Queremos encontrar [b1 b2] = [v1 v2] cdot [[v1]beta [v2]beta]^-1 . Para isso, podemos reorganizar a equação anterior:
Isso significa que a matriz das bases é igual à matriz dos vetores e multiplicada pela inversa da matriz das coordenadas desses vetores na base .

Passo 4

Agora, vamos substituir pelas coordenadas fornecidas no enunciado:
[v1 v2] cdot 2 & -1 4 & -4 ^-1
Portanto, a expressão para [b1 b2] = [v1 v2] cdot 2 & -1 4 & -4 ^-1 fica:

Resposta

A alternativa correta é a letra (A):
[llb1 & b2]=[llv1 & v2][ll2 & -1 4 & -4]^-1

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