Encontrar equações paramétricas da reta que passa por A e é simultaneamente ortogonal às retas r1 er2, nos casos:
c) A é a interseção de r1 e r2
r1: x-2=y+12=z3
e r2:lx=1-y z=2+2 y

Passo 1

Vamos entender o que o problema está pedindo. Precisamos encontrar as equações paramétricas de uma reta que passa pelo ponto , que é a interseção das retas e , e que é simultaneamente ortogonal a ambas essas retas. Para resolver isso, vamos precisar conhecer as equações das retas, encontrar o ponto de interseção , determinar os vetores diretores de e , e então encontrar um vetor que seja perpendicular a ambos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o ponto de interseção x - 21 = y + 12 = z3 das retas x = 2 + t, y = -1 + 2t, z = 0 + 3t e x = 1 - y z = 2 + 2y .
A equação da reta x = 1 - s, z = 2 + 2s é:
2 + t = 1 - s e 3t = 2 + 2s
Podemos parametrizar s = -1 - t usando um parâmetro 3t = 2 + 2(-1 - t) Rightarrow 3t = 2 - 2 - 2t Rightarrow 5t = 0 Rightarrow t = 0 :
A = (2, -1, 0)
A equação da reta está dada por:
Vamos parametrizar usando um parâmetro . Escolhemos , então:
Agora, igualamos as coordenadas de e para encontrar o ponto de interseção:
Resolvendo o sistema:
Substituindo na segunda equação:
Então, e o ponto é:

Passo 3

Agora, vamos determinar os vetores diretores das retas v1 = (1, 2, 3) e (x, y, z) = (1, 0, 2) + s(-1, 1, 2) .
Para v2 = (-1, 1, 2) :
Para , a parametrização ficou:
Então, o vetor diretor de é:

Passo 4

Como a reta que queremos é ortogonal a ambas v = v1 times v2 e v = i & j & k 1 & 2 & 3 -1 & 1 & 2 = i(2 cdot 2 - 3 cdot 1) - j(1 cdot 2 - 3 cdot (-1)) + k(1 cdot 1 - 2 cdot (-1)) , precisamos encontrar um vetor diretor que seja perpendicular a v = i(4 - 3) - j(2 + 3) + k(1 + 2) e v = i(1) - j(5) + k(3) . Para isso, usamos o produto vetorial entre v = (1, -5, 3) e :
Calculando:
Portanto, o vetor diretor da reta procurada é:

Passo 5

Com o ponto x = 2 + t y = -1 - 5t z = 0 + 3t e o vetor diretor , podemos escrever as equações paramétricas da reta desejada:
onde é o parâmetro.

Resposta

As equações paramétricas da reta são:
x = 2 + t y = -1 - 5t z = 3t
onde é um parâmetro real.

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