Encontrar equações paramétricas da reta que passa por A e é simultaneamente ortogonal às retas , nos casos:
c) A é a interseção de e
e
Passo 1
Vamos entender o que o problema está pedindo. Precisamos encontrar as equações paramétricas de uma reta que passa pelo ponto , que é a interseção das retas e , e que é simultaneamente ortogonal a ambas essas retas. Para resolver isso, vamos precisar conhecer as equações das retas, encontrar o ponto de interseção , determinar os vetores diretores de e , e então encontrar um vetor que seja perpendicular a ambos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o ponto de interseção das retas e .
A equação da reta é:
Podemos parametrizar usando um parâmetro :
A equação da reta está dada por:
Vamos parametrizar usando um parâmetro . Escolhemos , então:
Agora, igualamos as coordenadas de e para encontrar o ponto de interseção:
Resolvendo o sistema:
Substituindo na segunda equação:
Então, e o ponto é:
Passo 3
Agora, vamos determinar os vetores diretores das retas e .
Para :
Para , a parametrização ficou:
Então, o vetor diretor de é:
Passo 4
Como a reta que queremos é ortogonal a ambas e , precisamos encontrar um vetor diretor que seja perpendicular a e . Para isso, usamos o produto vetorial entre e :
Calculando:
Portanto, o vetor diretor da reta procurada é:
Passo 5
Com o ponto x = 2 + t y = -1 - 5t z = 0 + 3t e o vetor diretor , podemos escrever as equações paramétricas da reta desejada: