Encontrar equações paramétricas da reta que passa por e é simultaneamente ortogonal às retas e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar as equações paramétricas de uma reta que passa pelo ponto e que é ortogonal às retas e . Para isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre vetores diretores e condições de ortogonalidade entre retas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os vetores diretores das retas e . A reta é dada por:
Isso significa que é paralela ao eixo , então seu vetor diretor é .
Para a reta :
Podemos parametrizar usando um parâmetro :
Assim, o vetor diretor de é .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o vetor diretor da reta que buscamos, que deve ser ortogonal tanto a quanto a . Para isso, usamos o produto vetorial entre e , pois o produto vetorial de dois vetores resulta em um vetor perpendicular a ambos.
Calculando o produto vetorial:
Simplificando:

Passo 4

Com o vetor diretor e sabendo que a reta passa pelo ponto , podemos escrever as equações paramétricas da reta buscada. Utilizamos a forma:
onde é o ponto pelo qual a reta passa e são as componentes do vetor diretor.
Substituindo:
Simplificando a equação de :

Resposta

As equações paramétricas da reta são:

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Verificar se as retas são concorrentes e, em caso afirmativo, encontrar o ponto de interseção:
a) e
Identifique as superfícies de nível para e de
(a)
(b)
Encontre uma transformação linear de em cujo núcleo é gerado por ( . Dica: use a demonstração do Teorema do Núcleo e da Imagem.
Sejam e pontos do plano. Determine a bissetriz do ângulo .
Indicação: Lembre que a bissetriz de um ângulo é a reta que divide em dois outros ângulos de medidas iguais.
Considere os pontos na semi-reta e na semi-reta tais que sejam unitários. Observe que o vetor é a direção da reta desejada.