Encontrar equações paramétricas da reta que passa por e é simultaneamente ortogonal às retas e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar as equações paramétricas de uma reta que passa pelo ponto e que é ortogonal às retas e . Para isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre vetores diretores e condições de ortogonalidade entre retas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os vetores diretores das retas e . A reta é dada por:
Isso significa que é paralela ao eixo , então seu vetor diretor é .
Para a reta :
Podemos parametrizar usando um parâmetro :
Assim, o vetor diretor de é .
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o vetor diretor da reta que buscamos, que deve ser ortogonal tanto a quanto a . Para isso, usamos o produto vetorial entre e , pois o produto vetorial de dois vetores resulta em um vetor perpendicular a ambos.
Calculando o produto vetorial:
Simplificando:
Passo 4
Com o vetor diretor x = x0 + a t y = y0 + b t z = z0 + c t e sabendo que a reta passa pelo ponto x = 3 - t y = 2 + t z = -1 + 0 cdot t , podemos escrever as equações paramétricas da reta buscada. Utilizamos a forma:
z = -1
onde é o ponto pelo qual a reta passa e são as componentes do vetor diretor.