Encontrar equações paramétricas da reta que passa por A e é simultaneamente ortogonal às retas r1 e r2.
A(3,2,-1) r1:l x=3 y=-1 e r2:l y=x-3 z=-2 x+3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar as equações paramétricas de uma reta que passa pelo ponto e que é ortogonal às retas e . Para isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre vetores diretores e condições de ortogonalidade entre retas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os vetores diretores das retas r1: x = 3 y = -1 e r2: y = x - 3 z = -2x + 3 . A reta x = t y = t - 3 z = -2t + 3 é dada por:
Isso significa que é paralela ao eixo , então seu vetor diretor é .
Para a reta :
Podemos parametrizar usando um parâmetro :
Assim, o vetor diretor de é .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o vetor diretor d = v1 times v2 = i & j & k 0 & 0 & 1 1 & 1 & -2 = i(0 cdot (-2) - 1 cdot 1) - j(0 cdot (-2) - 1 cdot 1) + k(0 cdot 1 - 0 cdot 1) da reta que buscamos, que deve ser ortogonal tanto a d = (-1, 1, 0) quanto a . Para isso, usamos o produto vetorial entre e , pois o produto vetorial de dois vetores resulta em um vetor perpendicular a ambos.
Calculando o produto vetorial:
Simplificando:

Passo 4

Com o vetor diretor x = x0 + a t y = y0 + b t z = z0 + c t e sabendo que a reta passa pelo ponto x = 3 - t y = 2 + t z = -1 + 0 cdot t , podemos escrever as equações paramétricas da reta buscada. Utilizamos a forma:
z = -1
onde é o ponto pelo qual a reta passa e são as componentes do vetor diretor.
Substituindo:
Simplificando a equação de :

Resposta

As equações paramétricas da reta são:
x = 3 - t y = 2 + t z = -1 , t in R

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