Identifique as superfícies de nível para e de
(a)
(b)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para identificar as superfícies de nível da função para diferentes valores de (positivo, negativo e zero). Vamos precisar entender o que são superfícies de nível e como elas se relacionam com equações no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na parte (a): .

Passo 3

Superfície de nível significa que para cada valor de , a equação representa uma superfície no espaço. Dependendo do valor de , essa superfície pode ter formas diferentes.

Passo 4

Vamos analisar cada caso:

Quando :

A equação fica . Podemos rearranjar para . Isso se parece com a equação de um hiperboloide de uma folha, que é uma superfície que se abre para cima e para baixo no eixo .

Quando :

A equação fica , onde é negativo. Podemos reescrever como , mas como é negativo, a equação se torna , o que representa um hiperboloide de duas folhas, que consiste em duas superfícies separadas.

Quando :

A equação é , que pode ser rearranjada para . Isso representa um cone duplo, com duas partes se abrindo opostamente ao longo do eixo .

Passo 5

Agora, vamos para a parte (b): .

Passo 6

Novamente, para cada valor de , a equação define uma superfície no espaço. Vamos analisar os diferentes casos de .

Passo 7

Analisando cada caso:

Quando :

A equação pode ser escrita como . Dependendo dos sinais dos coeficientes, essa equação representa um elipsoide se todos os termos tiverem o mesmo sinal, mas aqui temos sinais diferentes, o que indica um hiperboloide.

Quando :

A equação com negativo pode ser rearranjada para . Isso também representa um tipo de hiperboloide, mas a análise detalhada dependerá dos termos dominantes.

Quando :

A equação sugere uma relação específica entre , e . Nesse caso, a superfície pode representar um cone ou degenerate em pontos, dependendo dos coeficientes.

Resposta

(a) Para :
  • : Hiperboloide de uma folha
  • : Hiperboloide de duas folhas
  • : Cone duplo
(b) Para :
  • : Hiperboloide de duas folhas
  • : Hiperboloide de uma folha
  • : Cone duplo

Exercícios relacionados

Identifique as curvas de nível e esboçe as curvas correspondentes aos seguintes valores de c dados
(a)
(b)
© .
UNIVERSIDADE FEDERAL DO PIAUÍ - UFPI
Campus Universitário Ministro Petrônio Portella
Departamento de Matemática
Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral III DMAT/CCN013
Prof. Ailton Campos
Data: 02/10/2024
Período: 2024.2
Nome:

1 Lista de Exercícios

  1. Classifique e esboce a curva dada pela equação:
  1. Determine a equação da parábola cujo vértice está na origem e o foco no ponto .
  2. Encontre a equação da elipse com centro na origem, focos em e vértices em .
  3. Dada a equação da hipérbole:
Esboce o gráfico, identificando os vértices e assíntotas.
5. Encontre a equação reduzida da elipse que tem os focos em e o eixo maior de comprimento 10 .
6. Classifique a superfície quádrica dada pela equação:
Qual é o tipo de superfície? Esboce seu gráfico.
7. Determine e classifique a superfície dada pela equação:
  1. Identifique a superfície quádrupla representada pela equação:
Esboce o gráfico da superfície e descreva suas características geométricas.
9. Determine o tipo de superfície descrita pela equação:
Esboce o gráfico.
10. A superfície é dada por:
Qual é o tipo de superfície? Esboce o gráfico.
11. Dada a função , encontre e esboce as curvas de nível correspondentes a .
12. Considere a função . Encontre as curvas de nível para os valores . Esboce as curvas no plano xy.
13. Dada a função , encontre as curvas de nível para . Esboce essas curvas.
14. Determine e esboce as superfícies de nível da função para os valores .
15. Encontre as superfícies de nível da função . Para , identifique e esboce as superfícies de nível.
16. Encontre a equação vetorial da curva paramétrica dada por:
Esboce a curva.
17. Determine as equações paramétricas para a elipse com semi-eixo maior 5 ao longo do eixo e semi-eixo menor 3 ao longo do eixo .
18. Dada a curva paramétrica:
Determine os pontos em que a curva tem tangente horizontal e vertical.
19. Encontre as equações paramétricas para a hélice com raio 2 e altura 5 por revolução.
20. Parametrize a curva de interseção entre o cilindro e o plano .
21. Identifique as curvas de nível e esboçe as curvas correspondentes aos seguintes valores de c dados
(a)
(b)
© .
22. Identifique as superfícies de nível para e de
(a)
(b)
23. A função
onde k e r são constantes positivas, fornece o potêncial elétrico (em volts) no ponto ( ) no plano xy. Descreva as curvas de nível de V e esboçe o conjunto que as representam. As curvas de nível de V são chamadas curvas equipotênciais; todos os pontos sobre uma curva equipotencial têm o mesmo potêncial elétrico.

Bom Trabalho!!!

Verificar se as retas são concorrentes e, em caso afirmativo, encontrar o ponto de interseção:
a) e
Encontrar equações paramétricas da reta que passa por e é simultaneamente ortogonal às retas e .