Identifique as superfícies de nível f(x, y, z)=c para c>0, c<0 e c=0 de
(a) f(x, y, z)=x^2+y^2-z^2
(b) f(x, y, z)=9 x^2-4 y^2+36 z^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para identificar as superfícies de nível da função para diferentes valores de (positivo, negativo e zero). Vamos precisar entender o que são superfícies de nível e como elas se relacionam com equações no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na parte (a): .

Passo 3

Superfície de nível significa que para cada valor de , a equação representa uma superfície no espaço. Dependendo do valor de , essa superfície pode ter formas diferentes.

Passo 4

Vamos analisar cada caso:

Quando :

A equação fica . Podemos rearranjar para . Isso se parece com a equação de um hiperboloide de uma folha, que é uma superfície que se abre para cima e para baixo no eixo .

Quando :

A equação fica , onde é negativo. Podemos reescrever como , mas como é negativo, a equação se torna , o que representa um hiperboloide de duas folhas, que consiste em duas superfícies separadas.

Quando :

A equação é , que pode ser rearranjada para . Isso representa um cone duplo, com duas partes se abrindo opostamente ao longo do eixo .

Passo 5

Agora, vamos para a parte (b): .

Passo 6

Novamente, para cada valor de , a equação define uma superfície no espaço. Vamos analisar os diferentes casos de .

Passo 7

Analisando cada caso:

Quando :

A equação pode ser escrita como . Dependendo dos sinais dos coeficientes, essa equação representa um elipsoide se todos os termos tiverem o mesmo sinal, mas aqui temos sinais diferentes, o que indica um hiperboloide.

Quando :

A equação com negativo pode ser rearranjada para . Isso também representa um tipo de hiperboloide, mas a análise detalhada dependerá dos termos dominantes.

Quando :

A equação sugere uma relação específica entre , e . Nesse caso, a superfície pode representar um cone ou degenerate em pontos, dependendo dos coeficientes.

Resposta

(a) Para :
  • : Hiperboloide de uma folha
  • : Hiperboloide de duas folhas
  • : Cone duplo
(b) Para :
  • : Hiperboloide de duas folhas
  • : Hiperboloide de uma folha
  • : Cone duplo

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