Identifique as superfícies de nível
para
e
de
(a)
(b)
(a)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para identificar as superfícies de nível da função
para diferentes valores de
(positivo, negativo e zero). Vamos precisar entender o que são superfícies de nível e como elas se relacionam com equações no espaço tridimensional.
Passo 2
Primeiro, vamos focar na parte (a):
.
Passo 3
Superfície de nível significa que para cada valor de
, a equação
representa uma superfície no espaço. Dependendo do valor de
, essa superfície pode ter formas diferentes.
Passo 4
Vamos analisar cada caso:
Quando
:
A equação fica
. Podemos rearranjar para
. Isso se parece com a equação de um hiperboloide de uma folha, que é uma superfície que se abre para cima e para baixo no eixo
.
Quando
:
A equação fica
, onde
é negativo. Podemos reescrever como
, mas como
é negativo, a equação se torna
, o que representa um hiperboloide de duas folhas, que consiste em duas superfícies separadas.
Quando
:
A equação é
, que pode ser rearranjada para
. Isso representa um cone duplo, com duas partes se abrindo opostamente ao longo do eixo
.
Passo 5
Agora, vamos para a parte (b):
.
Passo 6
Novamente, para cada valor de
, a equação
define uma superfície no espaço. Vamos analisar os diferentes casos de
.
Passo 7
Analisando cada caso:
Quando
:
A equação
pode ser escrita como
. Dependendo dos sinais dos coeficientes, essa equação representa um elipsoide se todos os termos tiverem o mesmo sinal, mas aqui temos sinais diferentes, o que indica um hiperboloide.
Quando
:
A equação
com
negativo pode ser rearranjada para
. Isso também representa um tipo de hiperboloide, mas a análise detalhada dependerá dos termos dominantes.
Quando
:
A equação
sugere uma relação específica entre
,
e
. Nesse caso, a superfície pode representar um cone ou degenerate em pontos, dependendo dos coeficientes.
Resposta
(a) Para
:
-
: Hiperboloide de uma folha -
: Hiperboloide de duas folhas -
: Cone duplo
(b) Para
:
-
: Hiperboloide de duas folhas -
: Hiperboloide de uma folha -
: Cone duplo
Exercícios relacionados
Identifique as curvas de nível
e esboçe as curvas correspondentes aos seguintes valores de c dados
(a)
(b)
© .
(a)
(b)
©
UNIVERSIDADE FEDERAL DO PIAUÍ - UFPI
Campus Universitário Ministro Petrônio Portella
Departamento de Matemática
Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral III DMAT/CCN013
Prof. Ailton Campos
Data: 02/10/2024
Período: 2024.2
Nome:
Campus Universitário Ministro Petrônio Portella
Departamento de Matemática
Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral III DMAT/CCN013
Prof. Ailton Campos
Data: 02/10/2024
Período: 2024.2
Nome:
1 Lista de Exercícios
- Classifique e esboce a curva dada pela equação:
- Determine a equação da parábola cujo vértice está na origem e o foco no ponto
. - Encontre a equação da elipse com centro na origem, focos em
e vértices em . - Dada a equação da hipérbole:
Esboce o gráfico, identificando os vértices e assíntotas.
5. Encontre a equação reduzida da elipse que tem os focos em e o eixo maior de comprimento 10 .
6. Classifique a superfície quádrica dada pela equação:
5. Encontre a equação reduzida da elipse que tem os focos em
6. Classifique a superfície quádrica dada pela equação:
Qual é o tipo de superfície? Esboce seu gráfico.
7. Determine e classifique a superfície dada pela equação:
7. Determine e classifique a superfície dada pela equação:
- Identifique a superfície quádrupla representada pela equação:
Esboce o gráfico da superfície e descreva suas características geométricas.
9. Determine o tipo de superfície descrita pela equação:
9. Determine o tipo de superfície descrita pela equação:
Esboce o gráfico.
10. A superfície é dada por:
10. A superfície é dada por:
Qual é o tipo de superfície? Esboce o gráfico.
11. Dada a função , encontre e esboce as curvas de nível correspondentes a
.
12. Considere a função . Encontre as curvas de nível para os valores
. Esboce as curvas no plano xy.
13. Dada a função , encontre as curvas de nível para
. Esboce essas curvas.
14. Determine e esboce as superfícies de nível da função para os valores
.
15. Encontre as superfícies de nível da função . Para
, identifique e esboce as superfícies de nível.
16. Encontre a equação vetorial da curva paramétrica dada por:
11. Dada a função
12. Considere a função
13. Dada a função
14. Determine e esboce as superfícies de nível da função
15. Encontre as superfícies de nível da função
16. Encontre a equação vetorial da curva paramétrica dada por:
Esboce a curva.
17. Determine as equações paramétricas para a elipse com semi-eixo maior 5 ao longo do eixo e semi-eixo menor 3 ao longo do eixo
.
18. Dada a curva paramétrica:
17. Determine as equações paramétricas para a elipse com semi-eixo maior 5 ao longo do eixo
18. Dada a curva paramétrica:
Determine os pontos em que a curva tem tangente horizontal e vertical.
19. Encontre as equações paramétricas para a hélice com raio 2 e altura 5 por revolução.
20. Parametrize a curva de interseção entre o cilindro e o plano
.
21. Identifique as curvas de nível e esboçe as curvas correspondentes aos seguintes valores de c dados
(a)
(b)
© .
22. Identifique as superfícies de nível para
e
de
(a)
(b)
23. A função
19. Encontre as equações paramétricas para a hélice com raio 2 e altura 5 por revolução.
20. Parametrize a curva de interseção entre o cilindro
21. Identifique as curvas de nível
(a)
(b)
©
22. Identifique as superfícies de nível
(a)
(b)
23. A função
onde k e r são constantes positivas, fornece o potêncial elétrico (em volts) no ponto (
) no plano xy. Descreva as curvas de nível de V e esboçe o conjunto que as representam. As curvas de nível de V são chamadas curvas equipotênciais; todos os pontos sobre uma curva equipotencial têm o mesmo potêncial elétrico.
Bom Trabalho!!!
Verificar se as retas são concorrentes e, em caso afirmativo, encontrar o ponto de interseção:
a) e
a)
Encontrar equações paramétricas da reta que passa por
e é simultaneamente ortogonal às retas
e
.