Identifique as superfícies de nível
para
e
de
(a)
(b)
(a)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para identificar as superfícies de nível da função
para diferentes valores de
(positivo, negativo e zero). Vamos precisar entender o que são superfícies de nível e como elas se relacionam com equações no espaço tridimensional.
Passo 2
Primeiro, vamos focar na parte (a):
.
Passo 3
Superfície de nível significa que para cada valor de
, a equação
representa uma superfície no espaço. Dependendo do valor de
, essa superfície pode ter formas diferentes.
Passo 4
Vamos analisar cada caso:
Quando
:
A equação fica
. Podemos rearranjar para
. Isso se parece com a equação de um hiperboloide de uma folha, que é uma superfície que se abre para cima e para baixo no eixo
.
Quando
:
A equação fica
, onde
é negativo. Podemos reescrever como
, mas como
é negativo, a equação se torna
, o que representa um hiperboloide de duas folhas, que consiste em duas superfícies separadas.
Quando
:
A equação é
, que pode ser rearranjada para
. Isso representa um cone duplo, com duas partes se abrindo opostamente ao longo do eixo
.
Passo 5
Agora, vamos para a parte (b):
.
Passo 6
Novamente, para cada valor de
, a equação
define uma superfície no espaço. Vamos analisar os diferentes casos de
.
Passo 7
Analisando cada caso:
Quando
:
A equação
pode ser escrita como
. Dependendo dos sinais dos coeficientes, essa equação representa um elipsoide se todos os termos tiverem o mesmo sinal, mas aqui temos sinais diferentes, o que indica um hiperboloide.
Quando
:
A equação
com
negativo pode ser rearranjada para
. Isso também representa um tipo de hiperboloide, mas a análise detalhada dependerá dos termos dominantes.
Quando
:
A equação
sugere uma relação específica entre
,
e
. Nesse caso, a superfície pode representar um cone ou degenerate em pontos, dependendo dos coeficientes.
Resposta
(a) Para
:
-
: Hiperboloide de uma folha -
: Hiperboloide de duas folhas -
: Cone duplo
(b) Para
:
-
: Hiperboloide de duas folhas -
: Hiperboloide de uma folha -
: Cone duplo