Encontre uma transformação linear de em cujo núcleo é gerado por ( . Dica: use a demonstração do Teorema do Núcleo e da Imagem.
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos encontrar uma transformação linear de para cujo núcleo (o conjunto de vetores que a transformação envia para o vetor zero) é gerado pelo vetor . Para resolver isso, vamos usar o Teorema do Núcleo e da Imagem, que nos ajuda a relacionar a dimensão do núcleo e da imagem de uma transformação linear.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma transformação linear de para pode ser representada por uma matriz de tamanho . Ou seja, temos uma matriz com 3 linhas e 2 colunas que define a nossa transformação linear .
Passo 3
O núcleo de uma transformação linear , denotado por , é o conjunto de todos os vetores tais que . No nosso caso, queremos que o núcleo seja gerado pelo vetor . Isso significa que qualquer vetor no núcleo é um múltiplo escalar de .
Passo 4
Para que o vetor pertença ao núcleo de , a transformação aplicada a ele deve resultar no vetor zero de . Se representarmos a transformação pela matriz , temos:
Passo 5
Vamos representar a matriz da seguinte forma:
Aplicando a condição do núcleo, temos:
$$
$$
Isso resulta no sistema de equações:
Passo 6
Resolvendo o sistema, temos:
Então, a matriz fica:
Passo 7
Podemos escolher valores para , e de forma que a transformação não seja trivial (não mapeando tudo para zero). Por exemplo, vamos escolher:
Assim, a matriz fica:
Passo 8
Com essa escolha, a transformação linear definida por tem como núcleo apenas os múltiplos de , conforme desejado. Além disso, a imagem de está no subespaço gerado pelo vetor de .
Resposta
Uma transformação linear que satisfaz as condições é dada pela matriz