Encontre uma transformação linear de R^2 em R^3 cujo núcleo é gerado por ( 1,1,0). Dica: use a demonstração do Teorema do Núcleo e da Imagem.

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos encontrar uma transformação linear de R^2 para R^3 cujo núcleo (o conjunto de vetores que a transformação envia para o vetor zero) é gerado pelo vetor (1,1). Para resolver isso, vamos usar o Teorema do Núcleo e da Imagem, que nos ajuda a relacionar a dimensão do núcleo e da imagem de uma transformação linear.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma transformação linear de R^2 para R^3 pode ser representada por uma matriz de tamanho 3 times 2. Ou seja, temos uma matriz A com 3 linhas e 2 colunas que define a nossa transformação linear T.

Passo 3

O núcleo de uma transformação linear T, denotado por ker(T), é o conjunto de todos os vetores v in R^2 tais que T(v) = 0. No nosso caso, queremos que o núcleo seja gerado pelo vetor (1,1). Isso significa que qualquer vetor no núcleo é um múltiplo escalar de (1,1).

Passo 4

Para que o vetor (1,1) pertença ao núcleo de T, a transformação aplicada a ele deve resultar no vetor zero de R^3. Se representarmos a transformação T pela matriz A, temos:
A 1 1 = 0 0 0

Passo 5

Vamos representar a matriz A da seguinte forma:
A = a & b c & d e & f
Aplicando a condição do núcleo, temos:

$$
a & b c & d e & f 1 1 = a + b c + d e + f = 0 0 0
a + b = 0 c + d = 0 e + f = 0

$$
Isso resulta no sistema de equações:

Passo 6

Resolvendo o sistema, temos:
b = -a d = -c f = -e
Então, a matriz A fica:
A = a & -a c & -c e & -e

Passo 7

Podemos escolher valores para a, c e e de forma que a transformação não seja trivial (não mapeando tudo para zero). Por exemplo, vamos escolher:
a = 1, c = 0, e = 0
Assim, a matriz A fica:
A = 1 & -1 0 & 0 0 & 0

Passo 8

Com essa escolha, a transformação linear T definida por A tem como núcleo apenas os múltiplos de (1,1), conforme desejado. Além disso, a imagem de T está no subespaço gerado pelo vetor (1,0,0) de R^3.

Resposta

Uma transformação linear que satisfaz as condições é dada pela matriz
A = 1 & -1 0 & 0 0 & 0

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