Encontre uma transformação linear de em cujo núcleo é gerado por ( . Dica: use a demonstração do Teorema do Núcleo e da Imagem.

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos encontrar uma transformação linear de para cujo núcleo (o conjunto de vetores que a transformação envia para o vetor zero) é gerado pelo vetor . Para resolver isso, vamos usar o Teorema do Núcleo e da Imagem, que nos ajuda a relacionar a dimensão do núcleo e da imagem de uma transformação linear.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma transformação linear de para pode ser representada por uma matriz de tamanho . Ou seja, temos uma matriz com 3 linhas e 2 colunas que define a nossa transformação linear .

Passo 3

O núcleo de uma transformação linear , denotado por , é o conjunto de todos os vetores tais que . No nosso caso, queremos que o núcleo seja gerado pelo vetor . Isso significa que qualquer vetor no núcleo é um múltiplo escalar de .

Passo 4

Para que o vetor pertença ao núcleo de , a transformação aplicada a ele deve resultar no vetor zero de . Se representarmos a transformação pela matriz , temos:

Passo 5

Vamos representar a matriz da seguinte forma:
Aplicando a condição do núcleo, temos:

$$

$$
Isso resulta no sistema de equações:

Passo 6

Resolvendo o sistema, temos:
Então, a matriz fica:

Passo 7

Podemos escolher valores para , e de forma que a transformação não seja trivial (não mapeando tudo para zero). Por exemplo, vamos escolher:
Assim, a matriz fica:

Passo 8

Com essa escolha, a transformação linear definida por tem como núcleo apenas os múltiplos de , conforme desejado. Além disso, a imagem de está no subespaço gerado pelo vetor de .

Resposta

Uma transformação linear que satisfaz as condições é dada pela matriz

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a) e
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Indicação: Lembre que a bissetriz de um ângulo é a reta que divide em dois outros ângulos de medidas iguais.
Considere os pontos na semi-reta e na semi-reta tais que sejam unitários. Observe que o vetor é a direção da reta desejada.
Considere as matrizes abaixo:
i)
ii)
iii)
iv)
Para cada matriz determine:
b) se o espaço-colunas está contido em , qual o valor de ?