Encontre uma transformação linear de em cujo núcleo é gerado por ( . Dica: use a demonstração do Teorema do Núcleo e da Imagem.
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos encontrar uma transformação linear de para cujo núcleo (o conjunto de vetores que a transformação envia para o vetor zero) é gerado pelo vetor . Para resolver isso, vamos usar o Teorema do Núcleo e da Imagem, que nos ajuda a relacionar a dimensão do núcleo e da imagem de uma transformação linear.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma transformação linear de para pode ser representada por uma matriz de tamanho . Ou seja, temos uma matriz com 3 linhas e 2 colunas que define a nossa transformação linear .
Passo 3
O núcleo de uma transformação linear , denotado por , é o conjunto de todos os vetores tais que . No nosso caso, queremos que o núcleo seja gerado pelo vetor . Isso significa que qualquer vetor no núcleo é um múltiplo escalar de .
Passo 4
Para que o vetor pertença ao núcleo de , a transformação aplicada a ele deve resultar no vetor zero de . Se representarmos a transformação pela matriz , temos:
Passo 5
Vamos representar a matriz A da seguinte forma:
A = a & b c & d e & f
Aplicando a condição do núcleo, temos:
$$ a & b c & d e & f 1 1 = a + b c + d e + f = 0 0 0 a + b = 0 c + d = 0 e + f = 0
$$
Isso resulta no sistema de equações:
Passo 6
Resolvendo o sistema, temos:
b = -a d = -c f = -e
Então, a matriz A fica:
A = a & -a c & -c e & -e
Passo 7
Podemos escolher valores para a, c e e de forma que a transformação não seja trivial (não mapeando tudo para zero). Por exemplo, vamos escolher:
a = 1, c = 0, e = 0
Assim, a matriz A fica:
A = 1 & -1 0 & 0 0 & 0
Passo 8
Com essa escolha, a transformação linear T definida por A tem como núcleo apenas os múltiplos de (1,1), conforme desejado. Além disso, a imagem de T está no subespaço gerado pelo vetor (1,0,0) de R^3.
Resposta
Uma transformação linear que satisfaz as condições é dada pela matriz