Sejam e pontos do plano. Determine a bissetriz do ângulo .
Indicação: Lembre que a bissetriz de um ângulo é a reta que divide em dois outros ângulos de medidas iguais.
Considere os pontos na semi-reta e na semi-reta tais que sejam unitários. Observe que o vetor é a direção da reta desejada.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem três pontos no plano: , e . Precisamos encontrar a bissetriz do ângulo . Isso significa que queremos a reta que divide esse ângulo em dois ângulos iguais. Para isso, vamos usar vetores unitários e somá-los para encontrar a direção da bissetriz.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as semi-retas e . A ideia é encontrar pontos na semi-reta e na semi-reta tal que os vetores e sejam vetores unitários (ou seja, com comprimento igual a 1).
Passo 3
Para encontrar , vamos calcular o vetor :
Agora, normalizamos esse vetor para torná-lo unitário:
Então,
Passo 4
Vamos fazer o mesmo para . Primeiro, calculamos :
Normalizando esse vetor:
Então,
Passo 5
Agora, somamos os vetores e para encontrar a direção da bissetriz:
Esse vetor resultante nos dá a direção da reta bissetriz que queremos.
Passo 6
Para achar a equação da bissetriz, usamos o ponto e o vetor direção . Vamos chamar as componentes de de , então a equação vetorial da reta é:
Convertendo para a forma paramétrica, temos:
Para simplificar, podemos encontrar a equação na forma usando a direção do vetor.
Resposta
A bissetriz do ângulo é a reta que passa pelo ponto e tem direção dada pelo vetor . Expressando na forma cartesiana, a equação da bissetriz é:
onde e . Calculando os valores, obtemos a equação final da bissetriz.