Sejam e pontos do plano. Determine a bissetriz do ângulo .
Indicação: Lembre que a bissetriz de um ângulo é a reta que divide em dois outros ângulos de medidas iguais.
Considere os pontos na semi-reta e na semi-reta tais que sejam unitários. Observe que o vetor v+w é a direção da reta desejada.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem três pontos no plano: , e . Precisamos encontrar a bissetriz do ângulo . Isso significa que queremos a reta que divide esse ângulo em dois ângulos iguais. Para isso, vamos usar vetores unitários e somá-los para encontrar a direção da bissetriz.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as semi-retas e . A ideia é encontrar pontos na semi-reta e na semi-reta tal que os vetores e sejam vetores unitários (ou seja, com comprimento igual a 1).
Passo 3
Para encontrar AB = B - A = (1 - (-1), 3 - 2) = (2,1) , vamos calcular o vetor |AB| = raiz2^2 + 1^2 = raiz5 :
v = AB|AB| = ( 2raiz5, 1raiz5 )
Agora, normalizamos esse vetor para torná-lo unitário:
Então,
Passo 4
Vamos fazer o mesmo para AC = C - A = (0 - (-1), -4 - 2) = (1, -6) . Primeiro, calculamos |AC| = raiz1^2 + (-6)^2 = raiz37 :
w = AC|AC| = ( 1raiz37, -6raiz37 )
Normalizando esse vetor:
Então,
Passo 5
Agora, somamos os vetores v + w = ( 2raiz5 + 1raiz37, 1raiz5 + -6raiz37 ) e para encontrar a direção da bissetriz:
Esse vetor resultante nos dá a direção da reta bissetriz que queremos.
Passo 6
Para achar a equação da bissetriz, usamos o ponto r = A + t(a, b) onde t in R e o vetor direção x = -1 + t cdot a y = 2 + t cdot b . Vamos chamar as componentes de de , então a equação vetorial da reta é:
Convertendo para a forma paramétrica, temos:
Para simplificar, podemos encontrar a equação na forma usando a direção do vetor.
Resposta
A bissetriz do ângulo y = ( ba )(x + 1) + 2 é a reta que passa pelo ponto e tem direção dada pelo vetor . Expressando na forma cartesiana, a equação da bissetriz é:
onde e . Calculando os valores, obtemos a equação final da bissetriz.