Verificar se as retas são concorrentes e, em caso afirmativo, encontrar o ponto de interseção:
a) r1:ly=2 x-3 z=-x+5 e r2:ly=-3 x+7 z=x+1

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício pede. Temos duas retas no espaço tridimensional, r1: y = 2x - 3 z = -x + 5 r2: y = -3x + 7 z = x + 1 e , definidas pelas equações:
O objetivo é verificar se essas retas se cruzam em algum ponto, ou seja, se são concorrentes, e, se sim, encontrar esse ponto de interseção. Para isso, vamos precisar resolver o sistema de equações formado pelas igualdades das coordenadas e das duas retas.

Passo 2

Primeiro, vamos igualar as equações de 2x - 3 = -3x + 7 das duas retas:
Aqui, estamos procurando o valor de que faz com que as coordenadas das duas retas sejam iguais no mesmo ponto.

Passo 3

Resolvendo a equação 2x + 3x = 7 + 3 5x = 10 x = 2 :
Encontramos que .

Passo 4

Agora, vamos usar esse valor de y = 2(2) - 3 y = 4 - 3 y = 1 para encontrar o valor de em uma das retas. Vamos usar a primeira reta :
Então, .

Passo 5

Em seguida, vamos encontrar o valor de z = -2 + 5 z = 3 usando o mesmo valor de . Vamos usar a primeira reta novamente:
Portanto, .

Passo 6

Para confirmar que as retas realmente se cruzam, vamos verificar se os valores encontrados satisfazem também as equações da segunda reta y = -3(2) + 7 y = -6 + 7 y = 1 .
Primeiro, para z = 2 + 1 z = 3 :
Está correto, .
Agora, para :
Também está correto, .

Resposta

As retas e são concorrentes e se cruzam no ponto .

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