Verificar se as retas são concorrentes e, em caso afirmativo, encontrar o ponto de interseção:
a)
e
a)
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício pede. Temos duas retas no espaço tridimensional,
e
, definidas pelas equações:
O objetivo é verificar se essas retas se cruzam em algum ponto, ou seja, se são concorrentes, e, se sim, encontrar esse ponto de interseção. Para isso, vamos precisar resolver o sistema de equações formado pelas igualdades das coordenadas
e
das duas retas.
Passo 2
Primeiro, vamos igualar as equações de
das duas retas:
Aqui, estamos procurando o valor de
que faz com que as coordenadas
das duas retas sejam iguais no mesmo ponto.
Passo 3
Resolvendo a equação
:
Encontramos que
.
Passo 4
Agora, vamos usar esse valor de
para encontrar o valor de
em uma das retas. Vamos usar a primeira reta
:
Então,
.
Passo 5
Em seguida, vamos encontrar o valor de
usando o mesmo valor de
. Vamos usar a primeira reta
novamente:
Portanto,
.
Passo 6
Para confirmar que as retas realmente se cruzam, vamos verificar se os valores encontrados satisfazem também as equações da segunda reta
.
Primeiro, para
:
Está correto,
.
Agora, para
:
Também está correto,
.
Resposta
As retas
e
são concorrentes e se cruzam no ponto
.
Exercícios relacionados
Identifique as superfícies de nível
para
e
de
(a)
(b)
(a)
(b)
Identifique as curvas de nível
e esboçe as curvas correspondentes aos seguintes valores de c dados
(a)
(b)
© .
(a)
(b)
©
Encontrar equações paramétricas da reta que passa por
e é simultaneamente ortogonal às retas
e
.
Encontre uma transformação linear de
em
cujo núcleo é gerado por (
. Dica: use a demonstração do Teorema do Núcleo e da Imagem.