Encontrar o fluxo do campo vetorial
através superfície do corpo limitado por
, e
, com orientação normal exterior.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos que encontrar o fluxo de um campo vetorial
através de uma superfície delimitada pelas superfícies
,
e
. O fluxo é basicamente uma medida de quanto o campo está “passando” pela superfície. Para resolver isso, vamos usar o Teorema da Divergência, que relaciona o fluxo através de uma superfície fechada com o volume que essa superfície encerra. Vamos precisar entender o que é divergência e como aplicá-la usando coordenadas cilíndricas para facilitar os cálculos.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a divergência do campo vetorial
. A divergência é dada por:
Calculando cada derivada:
Então, a divergência é:
Passo 3
Agora que temos a divergência, vamos aplicar o Teorema da Divergência. Esse teorema nos diz que o fluxo
através da superfície fechada
é igual à integral tripla da divergência de
sobre o volume
limitado por
:
Como já calculamos que
, a integral fica:
Ou seja, o fluxo é 3 vezes o volume do corpo delimitado pelas superfícies dadas.
Passo 4
Para calcular o volume
, vamos usar coordenadas cilíndricas (
) porque a simetria da região é mais facilmente descrita assim. Nas coordenadas cilíndricas,
,
, e
. O elemento de volume é
.
Vamos entender os limites de integração:
-
varia de a para cobrir todo o círculo. -
varia de até o valor que faz variar de a . -
varia de até porque .
Então, a integral do volume é:
Passo 5
Vamos calcular a integral passo a passo:
Primeiro, integramos em relação a
:
Agora, a integral fica:
Integrando em relação a
:
Por fim, integramos em relação a
:
Resposta
O fluxo do campo vetorial
através da superfície é
.
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através da superfície da pirâmide com vértices
e
, com orientação normal exterior.
Encontrar o fluxo do campo vetorial
através da superfície do corpo limitado por
, com orientação normal exterior.
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) através da superfície aberta definida pelo cilindro
com
e uma porção do plano
, com orientação normal exterior.
Seja
uma região fechada e limitada de
, cuja fronteira é a união de duas superfícies
e
, orientadas com vetor normal exterior a
. Considere o vetor normal a
com terceira componente positiva. Qual o valor de
, onde
, sabendo que
é uma porção do plano
com 5 unidades de área e que
possui 30 unidades de volume.