Encontrar o fluxo do campo vetorial através superfície do corpo limitado por , e , com orientação normal exterior.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos que encontrar o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície delimitada pelas superfícies , e . O fluxo é basicamente uma medida de quanto o campo está “passando” pela superfície. Para resolver isso, vamos usar o Teorema da Divergência, que relaciona o fluxo através de uma superfície fechada com o volume que essa superfície encerra. Vamos precisar entender o que é divergência e como aplicá-la usando coordenadas cilíndricas para facilitar os cálculos.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a divergência do campo vetorial . A divergência é dada por:
Calculando cada derivada:
Então, a divergência é:

Passo 3

Agora que temos a divergência, vamos aplicar o Teorema da Divergência. Esse teorema nos diz que o fluxo através da superfície fechada é igual à integral tripla da divergência de sobre o volume limitado por :
Como já calculamos que , a integral fica:
Ou seja, o fluxo é 3 vezes o volume do corpo delimitado pelas superfícies dadas.

Passo 4

Para calcular o volume , vamos usar coordenadas cilíndricas ( ) porque a simetria da região é mais facilmente descrita assim. Nas coordenadas cilíndricas, , , e . O elemento de volume é .
Vamos entender os limites de integração:
  • varia de a para cobrir todo o círculo.
  • varia de até o valor que faz variar de a .
  • varia de até porque .
Então, a integral do volume é:

Passo 5

Vamos calcular a integral passo a passo:
Primeiro, integramos em relação a :
Agora, a integral fica:
Integrando em relação a :
Por fim, integramos em relação a :

Resposta

O fluxo do campo vetorial através da superfície é .

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