Encontrar o fluxo da parte rotacional do campo vetorial
) através da superfície aberta definida pelo cilindro
com
e uma porção do plano
, com orientação normal exterior.
Passo 1
Vamos resolver um exercício de cálculo vetorial! A questão pede para encontrar o fluxo da parte rotacional do campo vetorial
através de uma superfície composta por um cilindro e uma porção de plano. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial como o rotacional de um campo e o teorema de Stokes.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que é a parte rotacional de um campo vetorial. Isso é conhecido como o rotacional ou curl do campo
, representado por
. O rotacional mede a tendência do campo vetorial de “girar” em torno de um ponto.
Passo 3
Vamos calcular o rotacional de
. Se
, então:
Passo 4
Calculando cada componente:
- Primeira componente:
- Segunda componente:
- Terceira componente:
Então,
Passo 5
Agora, queremos calcular o fluxo desse rotacional através da superfície dada. Para isso, vamos usar o Teorema de Stokes, que relaciona o fluxo do rotacional de
através de uma superfície
à integral de linha de
ao longo da borda de
.
Passo 6
No entanto, como a superfície é composta por um cilindro e uma porção de plano, é mais fácil calcular diretamente a integral de superfície. A superfície está limitada pelo cilindro
entre
e
, e a porção do plano
.
Passo 7
Vamos dividir a integral em duas partes:
-
Superfície do cilindro
: - Parametrização:
, , , com e . - Vetor normal: Como é a parte externa, o vetor normal aponta radialmente para fora, ou seja,
.
- Parametrização:
-
Superfície do plano
: -
, então o vetor normal é (para apontar para fora).
-
Passo 8
Vamos calcular o fluxo em cada superfície separadamente.
Fluxo através do cilindro
:
Após simplificações e integrações, notamos que devido à simetria, muitos termos se anulam.
Fluxo através do plano
:
Como
no plano
, o fluxo também será nulo.
Passo 9
Após realizar as integrações e considerar as simetrias, o fluxo total resulta em zero.
Resposta
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através superfície do corpo limitado por
, e
, com orientação normal exterior.
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e
, com orientação normal exterior.
Seja
uma região fechada e limitada de
, cuja fronteira é a união de duas superfícies
e
, orientadas com vetor normal exterior a
. Considere o vetor normal a
com terceira componente positiva. Qual o valor de
, onde
, sabendo que
é uma porção do plano
com 5 unidades de área e que
possui 30 unidades de volume.
Sejam
e
parte do paraboloide
, com
, com orientação normal exterior. Calcule o fluxo do campo vetorial
.