Encontrar o fluxo da parte rotacional do campo vetorial ) através da superfície aberta definida pelo cilindro com e uma porção do plano , com orientação normal exterior.

Passo 1

Vamos resolver um exercício de cálculo vetorial! A questão pede para encontrar o fluxo da parte rotacional do campo vetorial através de uma superfície composta por um cilindro e uma porção de plano. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial como o rotacional de um campo e o teorema de Stokes.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é a parte rotacional de um campo vetorial. Isso é conhecido como o rotacional ou curl do campo , representado por . O rotacional mede a tendência do campo vetorial de “girar” em torno de um ponto.

Passo 3

Vamos calcular o rotacional de . Se , então:

Passo 4

Calculando cada componente:
  1. Primeira componente:
  1. Segunda componente:
  1. Terceira componente:
Então,

Passo 5

Agora, queremos calcular o fluxo desse rotacional através da superfície dada. Para isso, vamos usar o Teorema de Stokes, que relaciona o fluxo do rotacional de através de uma superfície à integral de linha de ao longo da borda de .

Passo 6

No entanto, como a superfície é composta por um cilindro e uma porção de plano, é mais fácil calcular diretamente a integral de superfície. A superfície está limitada pelo cilindro entre e , e a porção do plano .

Passo 7

Vamos dividir a integral em duas partes:
  1. Superfície do cilindro :
    • Parametrização: , , , com e .
    • Vetor normal: Como é a parte externa, o vetor normal aponta radialmente para fora, ou seja, .
  2. Superfície do plano :
    • , então o vetor normal é (para apontar para fora).

Passo 8

Vamos calcular o fluxo em cada superfície separadamente.
Fluxo através do cilindro :
Após simplificações e integrações, notamos que devido à simetria, muitos termos se anulam.
Fluxo através do plano :
Como no plano , o fluxo também será nulo.

Passo 9

Após realizar as integrações e considerar as simetrias, o fluxo total resulta em zero.

Resposta

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