Encontrar a fórmula para a n-ésima soma parcial da série 1 - 1/2 + 1/4 - 1/8 + ... + (-1)^(n-1) / 2^(n-1) + ... e usá-la para encontrar a soma da série se ela convergir.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a fórmula da n-ésima soma parcial de uma série específica: . Além disso, queremos saber se essa série converge e, se sim, qual é a soma dela. Para resolver isso, vamos usar conceitos de séries geométricas, que são séries com uma razão constante entre os termos.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o padrão da série. Observamos que cada termo multiplica o anterior por -1/2. Isso significa que a série é uma série geométrica onde a razão comum r é -1/2, e o primeiro termo é 1. Então, temos:

Passo 3

Agora, para encontrar a fórmula da n-ésima soma parcial de uma série geométrica, usamos a seguinte fórmula:
Essa fórmula nos dá a soma dos primeiros n termos de uma série geométrica.

Passo 4

Vamos aplicar essa fórmula à nossa série. Substituindo e na fórmula, temos:

Passo 5

Agora, vamos simplificar essa expressão. Primeiro, calculemos o denominador:
Então, a fórmula fica:
Portanto, a fórmula da n-ésima soma parcial é:

Passo 6

Agora, vamos analisar se a série converge, ou seja, se a soma se aproxima de um valor finito quando n tende ao infinito. Para isso, observamos o limite de quando :
Como , sabemos que . Então:
Isso significa que a série converge e a soma dela é 2/3.

Resposta

A fórmula da n-ésima soma parcial é . A soma da série, quando ela converge, é .

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