Encontrar a fórmula para a -ésima soma parcial da série e usá-la para encontrar a soma da série se ela convergir.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a fórmula da -ésima soma parcial de uma série específica: . Além disso, queremos saber se essa série converge e, se sim, qual é a soma dela. Para resolver isso, vamos usar conceitos de séries geométricas, que são séries com uma razão constante entre os termos.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o padrão da série. Observamos que cada termo multiplica o anterior por . Isso significa que a série é uma série geométrica onde a razão comum é , e o primeiro termo é . Então, temos:
Passo 3
Agora, para encontrar a fórmula da -ésima soma parcial de uma série geométrica, usamos a seguinte fórmula:
Essa fórmula nos dá a soma dos primeiros termos de uma série geométrica.
Passo 4
Vamos aplicar essa fórmula à nossa série. Substituindo e na fórmula, temos:
Passo 5
Agora, vamos simplificar essa expressão. Primeiro, calculemos o denominador:
Então, a fórmula fica:
Portanto, a fórmula da -ésima soma parcial é:
Passo 6
Agora, vamos analisar se a série converge, ou seja, se a soma se aproxima de um valor finito quando tende ao infinito. Para isso, observamos o limite de quando :
Como , sabemos que . Então:
Isso significa que a série converge e a soma dela é 2/3.
Resposta
A fórmula da n-ésima soma parcial é . A soma da série, quando ela converge, é .