Encontrar uma fórmula para o fator integrante que transforme a EDO não exata em exata, e em seguida, resolvê-la: .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que temos aqui é uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) que não está exata. Nosso objetivo é transformar essa EDO em uma equação exata usando um fator integrante. Para isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre equações exatas e como encontrar esse fator que vai facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a EDO para facilitar nossa análise:
Aqui, podemos identificar as funções e .

Passo 3

Uma equação diferencial da forma é exata se satisfaz a condição:
Vamos verificar isso:
Calculando :
Calculando :
Como , a equação não é exata.

Passo 4

Agora, precisamos encontrar um fator integrante que, quando multiplicado por toda a EDO, torne a equação exata. Geralmente, tentamos fatores que dependem apenas de ou apenas de .
Vamos supor que o fator integrante depende apenas de , ou seja, .

Passo 5

Ao multiplicar a EDO por , temos:
Para que a equação seja exata, devemos ter:
Calculando as derivadas:
Esquerda:
Direita:
Igualando as duas expressões:
Dividindo ambos os lados por :

Passo 6

Agora, temos uma equação diferencial para :
Integrando ambos os lados:
Lado esquerdo:
Podemos ignorar a constante para simplificar o fator integrante:

Passo 7

Agora que temos o fator integrante , multiplicamos toda a EDO original por :
Simplificando:

Passo 8

Agora, verificamos que a equação é exata. Portanto, existe uma função potencial tal que:
Integrando em relação a :
Onde é uma função de que precisamos encontrar.

Passo 9

Agora, calculamos e igualamos a :
Igualando:
Então:
Integrando em relação a :
Novamente, podemos ignorar a constante .

Passo 10

A função potencial completa é:
Igualando a uma constante:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

Exercícios relacionados

Identifique as curvas de nível e esboçe as curvas correspondentes aos seguintes valores de c dados:
Nos exercícios 8 a 12 é dado . Determinar um número para o dado tal que sempre que .
9. .
Nos exercícios 8 a 12 é dado . Determinar um número para o dado tal que sempre que .
12. .
( )Se f(x, y) é diferenciável em (a, b) então suas derivadas parciais são contínuas em (a ,b)