Encontrar uma fórmula para o fator integrante que transforme a EDO não exata em exata, e em seguida, resolvê-la:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que temos aqui é uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) que não está exata. Nosso objetivo é transformar essa EDO em uma equação exata usando um fator integrante. Para isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre equações exatas e como encontrar esse fator que vai facilitar a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a EDO para facilitar nossa análise:
Aqui, podemos identificar as funções
e
.
Passo 3
Uma equação diferencial da forma
é exata se satisfaz a condição:
Vamos verificar isso:
Calculando
:
Calculando
:
Como
, a equação não é exata.
Passo 4
Agora, precisamos encontrar um fator integrante
que, quando multiplicado por toda a EDO, torne a equação exata. Geralmente, tentamos fatores que dependem apenas de
ou apenas de
.
Vamos supor que o fator integrante depende apenas de
, ou seja,
.
Passo 5
Ao multiplicar a EDO por
, temos:
Para que a equação seja exata, devemos ter:
Calculando as derivadas:
Esquerda:
Direita:
Igualando as duas expressões:
Dividindo ambos os lados por
:
Passo 6
Agora, temos uma equação diferencial para
:
Integrando ambos os lados:
Lado esquerdo:
Podemos ignorar a constante
para simplificar o fator integrante:
Passo 7
Agora que temos o fator integrante
, multiplicamos toda a EDO original por
:
Simplificando:
Passo 8
Agora, verificamos que a equação é exata. Portanto, existe uma função potencial
tal que:
Integrando em relação a
:
Onde
é uma função de
que precisamos encontrar.
Passo 9
Agora, calculamos
e igualamos a
:
Igualando:
Então:
Integrando em relação a
:
Novamente, podemos ignorar a constante
.
Passo 10
A função potencial completa é:
Igualando a uma constante:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Exercícios relacionados
Identifique as curvas de nível
e esboçe as curvas correspondentes aos seguintes valores de c dados:
Nos exercícios 8 a 12 é dado
. Determinar um número
para o
dado tal que
sempre que
.
9. .
9.
Nos exercícios 8 a 12 é dado
. Determinar um número
para o
dado tal que
sempre que
.
12. .
12.
( )Se f(x, y) é diferenciável em (a, b) então suas derivadas parciais são contínuas em (a ,b)