Nos exercícios 8 a 12 é dado
. Determinar um número
para o
dado tal que
sempre que
.
9.
.
9.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um limite dado por
. A questão é encontrar um número
para um
específico, que nesse caso é 0,5. Basicamente, queremos garantir que quando
estiver bem pertinho de -1 (mas diferente de -1), a função
esteja bem próxima de 10, ou seja, dentro de 0,5 unidades desse valor.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa essa definição de limite. Quando dizemos que
, estamos afirmando que para todo
, existe um
tal que se
, então
. Aqui,
,
e
. Nosso objetivo é encontrar esse
.
Passo 3
Vamos começar substituindo os valores na desigualdade
:
Simplificando dentro do valor absoluto:
Então, temos:
Passo 4
Agora, vamos isolar
:
Portanto, para garantir que
, precisamos que
. Isso significa que podemos escolher
.
Resposta
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Um tanque contém originalmente 200 litros de água pura. Uma solução de
de um certo sal é introduzida no tanque com uma vazão de 2 litros/minuto e a solução homogênea resultante sai do tanque com a mesma vazão. Depois de 12 minutos o processo é interrompido e água pura começa a ser despejada no tanque com uma vazão de 2 litros/minuto; a solução sai novamente do tanque com a mesma vazão. Determine a quantidade de sal no tanque após mais 12 minutos.
Suponha que a temperatura de uma xícara de café obedece a lei de Newton do Resfriamento de corpos. Se o café está a uma temperatura de
logo depois de coado e um minuto depois a temperatura diminui para
em uma cozinha que se encontra a uma temperatura de
, determine o tempo que o café levará para chegar a uma temperatura de
.
Identifique as curvas de nível
e esboçe as curvas correspondentes aos seguintes valores de c dados:
Encontrar uma fórmula para o fator integrante que transforme a EDO não exata em exata, e em seguida, resolvê-la:
.