Passo 1. Desenhe uma figura e classifique as quantidades que variam.
Passo 2. Identifique as taxas de variação que são conhecidas e a taxa de variação que é para ser encontrada.
Passo 3. Ache uma equação que relacione a quantidade, cuja taxa de variação é para ser encontrada com as quantidades cujas taxas de variação são conhecidas.
Passo 4. Diferencie ambos os lados desta equação em relação ao tempo e resolva a derivada que dará a taxa de variação desconhecida.
Passo 5. Calcule esta derivada em um ponto apropriado.

Passo 1

Beleza, vamos resolver um problema de taxas relacionadas! Esse tipo de questão geralmente aparece em Cálculo, especificamente quando precisamos encontrar como uma quantidade está mudando em relação a outra que também está mudando. Para resolver, vamos precisar desenhar a situação, identificar quais quantidades estão variando e entender como elas se relacionam matematicamente.

Passo 2

Vamos considerar que temos uma escada de comprimento constante apoiada contra uma parede. Suponha que a base da escada está se afastando da parede a uma certa taxa, e queremos descobrir a que velocidade a parte de cima da escada está descendo. As taxas de variação conhecidas são a velocidade com que a base da escada se afasta da parede, e a taxa que queremos encontrar é a velocidade com que a parte de cima está descendo.

Passo 3

Vamos relacionar a altura da escada na parede com a distância da base até a parede. Podemos usar o teorema de Pitágoras para isso. Se é a distância da base da escada até a parede e é a altura da escada na parede, então temos:
Onde é o comprimento da escada, que é constante.

Passo 4

Vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação ao tempo para encontrar a relação entre as taxas de variação de e :
Simplificando:
Agora, queremos isolar :

Passo 5

Vamos calcular em um ponto específico. Suponha que a escada tem metros, e no momento considerado, a base está metros da parede, e está se afastando a uma taxa de m/s.
Primeiro, encontramos :
Agora, aplicamos na equação da taxa:

Resposta

A parte de cima da escada está descendo a uma taxa de metros por segundo quando a base está a 3 metros da parede.

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