Encontrar os intervalos de crescimento, decrescimento, os máximos e os mínimos relativos das seguintes funções:
(d) f(x) = x + 1/x

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos encontrar os intervalos em que a função está crescendo ou decrescendo, além de identificar os pontos de máximo e mínimo relativos. Para isso, vamos usar o conceito de derivada, que nos ajuda a analisar o comportamento da função.

Passo 2

Vamos começar calculando a derivada da função . A derivada nos mostra a taxa de variação da função em relação a . Se a derivada for positiva, a função está crescendo; se for negativa, está decrescendo.
A derivada de é:

Passo 3

Agora, vamos determinar onde a função está crescendo ou decrescendo analisando o sinal de .
  • Se , a função está crescendo.
  • Se , a função está decrescendo.

Passo 4

Vamos resolver a inequação :
Portanto, a função está crescendo nos intervalos e .

Passo 5

Agora, vamos resolver a inequação :
Portanto, a função está decrescendo no intervalo .

Passo 6

Para encontrar os pontos de máximo e mínimo relativos, vamos determinar onde :

Passo 7

Vamos analisar o comportamento da função nesses pontos:
  • Para :
    • Quando (por exemplo, ), .
    • Quando (por exemplo, ), .
    Isso indica que é um ponto de mínimo relativo.
  • Para :
    • Quando (por exemplo, ), .
    • Quando (por exemplo, ), .
    Isso indica que é um ponto de máximo relativo.

Resposta

A função está:
  • Crescendo nos intervalos e .
  • Decrescendo no intervalo .
  • Possui um máximo relativo em .
  • Possui um mínimo relativo em .

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