Encontre a, b e c de modo que o ponto 0,1 pertença ao gráfico da função f(x) = a*x^2 + b*x + c e que (1, -2) seja um máximo relativo de f.

Passo 1

Vamos resolver um problema envolvendo funções quadráticas. Precisamos encontrar os valores de , e na função de modo que o ponto esteja no gráfico dessa função e que seja um máximo relativo. Para isso, vamos usar conhecimentos de álgebra e cálculo, especificamente o conceito de derivada para identificar pontos de máximo.

Passo 2

Primeiro, vamos usar o fato de que o ponto está no gráfico da função. Isso significa que, quando , . Substituindo na equação:
Então, já encontramos que .

Passo 3

Agora, sabemos que é um ponto no gráfico da função e também um máximo relativo. Primeiro, vamos garantir que o ponto esteja na função. Substituindo e :
Isso nos dá a equação:

Passo 4

Para que seja um máximo relativo, a derivada da função em deve ser igual a zero. A derivada de é:
Então, substituindo :

Passo 5

Agora temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
Vamos resolver subtraindo a primeira equação da segunda:

Passo 6

Com , substituímos na primeira equação para encontrar :

Resposta

Os valores são , e .

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