Seguindo as etapas apresentadas, fazer um esboço do gráfico das seguintes funções:
(f) f(x) = e^(x - x^2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que fazer um esboço do gráfico da função . Isso está relacionado ao conteúdo de funções exponenciais e análise de gráficos. Para resolver isso, vamos precisar analisar o comportamento da função, encontrar seus pontos importantes como interceptos, máximos, mínimos e ver como ela se comporta quando vai para mais ou menos infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que a função está fazendo. A função dada é . Isso é uma função exponencial onde o expoente é uma expressão quadrática. Isso significa que a função vai crescer ou decrescer dependendo do valor de .

Passo 3

Vamos encontrar o domínio da função. O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida. Como a base da exponencial é positiva e está sempre definida para qualquer número real, o domínio de é todos os números reais: .

Passo 4

Agora, vamos achar os interceptos. Primeiro, o intercepto com o eixo ocorre quando :
Então, o intercepto com o eixo é .
Para o intercepto com o eixo , resolvemos :
Mas a função exponencial nunca é zero, então não há intercepto com o eixo .

Passo 5

Vamos encontrar os pontos críticos para determinar onde a função tem máximos ou mínimos. Para isso, calculamos a derivada :
Agora, igualamos a derivada a zero para achar os pontos críticos:
Como nunca é zero, resolvemos :
Então, temos um ponto crítico em .

Passo 6

Vamos determinar se esse ponto crítico é um máximo ou mínimo. Calculamos a segunda derivada :
Simplificando em :
Como a segunda derivada é negativa, é um ponto de máximo.

Passo 7

Vamos calcular o valor máximo da função em :
Então, o ponto máximo é .

Passo 8

Agora, vamos analisar o comportamento da função quando vai para mais e menos infinito.
  • Quando :
  • Quando :
Portanto, a função tende a zero em ambas as direções.

Passo 9

Com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico:
  • A função passa pelo ponto .
  • Não tem intercepto com o eixo .
  • Tem um máximo em .
  • A função tende a zero quando vai para mais ou menos infinito.
  • A função é sempre positiva.

Resposta

O gráfico de tem um máximo no ponto , passa pelo ponto , não intercepta o eixo , e se aproxima do eixo (tendendo a zero) quando vai para ou . A curva é simétrica e sempre positiva, formando um “topinho” no ponto máximo e decrescendo nas duas extremidades.

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