Seguindo as etapas apresentadas, fazer um esboço do gráfico das seguintes funções:
(f)
(f)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que fazer um esboço do gráfico da função
. Isso está relacionado ao conteúdo de funções exponenciais e análise de gráficos. Para resolver isso, vamos precisar analisar o comportamento da função, encontrar seus pontos importantes como interceptos, máximos, mínimos e ver como ela se comporta quando
vai para mais ou menos infinito.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que a função está fazendo. A função dada é
. Isso é uma função exponencial onde o expoente é uma expressão quadrática. Isso significa que a função vai crescer ou decrescer dependendo do valor de
.
Passo 3
Vamos encontrar o domínio da função. O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de
para os quais a função está definida. Como a base da exponencial
é positiva e está sempre definida para qualquer número real, o domínio de
é todos os números reais:
.
Passo 4
Agora, vamos achar os interceptos. Primeiro, o intercepto com o eixo
ocorre quando
:
Então, o intercepto com o eixo
é
.
Para o intercepto com o eixo
, resolvemos
:
Mas a função exponencial nunca é zero, então não há intercepto com o eixo
.
Passo 5
Vamos encontrar os pontos críticos para determinar onde a função tem máximos ou mínimos. Para isso, calculamos a derivada
:
Agora, igualamos a derivada a zero para achar os pontos críticos:
Como
nunca é zero, resolvemos
:
Então, temos um ponto crítico em
.
Passo 6
Vamos determinar se esse ponto crítico é um máximo ou mínimo. Calculamos a segunda derivada
:
Simplificando em
:
Como a segunda derivada é negativa,
é um ponto de máximo.
Passo 7
Vamos calcular o valor máximo da função em
:
Então, o ponto máximo é
.
Passo 8
Agora, vamos analisar o comportamento da função quando
vai para mais e menos infinito.
- Quando
:
- Quando
:
Portanto, a função tende a zero em ambas as direções.
Passo 9
Com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico:
- A função passa pelo ponto
. - Não tem intercepto com o eixo
. - Tem um máximo em
. - A função tende a zero quando
vai para mais ou menos infinito. - A função é sempre positiva.
Resposta
O gráfico de
tem um máximo no ponto
, passa pelo ponto
, não intercepta o eixo
, e se aproxima do eixo
(tendendo a zero) quando
vai para
ou
. A curva é simétrica e sempre positiva, formando um “topinho” no ponto máximo e decrescendo nas duas extremidades.