Nos itens abaixo, determine os pontos críticos da função dada. Use o teste da primeira derivada para determinar se os pontos críticos encontrados são extremos relativos.
(e) f(x) = ln(x)/x

Passo 1

Bele, vamos resolver esse exercício onde precisamos encontrar os pontos críticos da função . Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Diferencial, mais especificamente sobre derivadas e análise de extrema. Para isso, vamos precisar calcular a derivada da função e aplicar o teste da primeira derivada para determinar se os pontos críticos são máximos ou mínimos.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada da função . Para isso, vamos usar a regra do quociente, que é útil quando temos uma função dividida por outra. A regra do quociente diz que:
Aqui, e .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas de e :

Passo 4

Agora, aplicando a regra do quociente:

Passo 5

Para encontrar os pontos críticos, precisamos descobrir onde a derivada é igual a zero ou onde ela não está definida. Como é sempre positivo para , a derivada só será zero quando o numerador for zero:
Então, temos um ponto crítico em .

Passo 6

Agora, vamos usar o teste da primeira derivada para determinar se esse ponto crítico é um máximo ou um mínimo relativo. Isso significa que vamos analisar o sinal da derivada antes e depois de :
  • Para : Vamos escolher, por exemplo, . Então:
    A derivada é positiva, o que indica que a função está crescente antes de .
  • Para : Vamos escolher, por exemplo, . Então:
    A derivada é negativa, indicando que a função está decrescente após .

Resposta

Portanto, a função tem um ponto crítico em , que é um máximo relativo.

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