Nos itens abaixo, determine os pontos críticos da função dada. Use o teste da primeira derivada para determinar se os pontos críticos encontrados são extremos relativos.
(e)
(e)
Passo 1
Bele, vamos resolver esse exercício onde precisamos encontrar os pontos críticos da função
. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Diferencial, mais especificamente sobre derivadas e análise de extrema. Para isso, vamos precisar calcular a derivada da função e aplicar o teste da primeira derivada para determinar se os pontos críticos são máximos ou mínimos.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada da função
. Para isso, vamos usar a regra do quociente, que é útil quando temos uma função dividida por outra. A regra do quociente diz que:
Aqui,
e
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas de
e
:
Passo 4
Agora, aplicando a regra do quociente:
Passo 5
Para encontrar os pontos críticos, precisamos descobrir onde a derivada
é igual a zero ou onde ela não está definida. Como
é sempre positivo para
, a derivada só será zero quando o numerador for zero:
Então, temos um ponto crítico em
.
Passo 6
Agora, vamos usar o teste da primeira derivada para determinar se esse ponto crítico é um máximo ou um mínimo relativo. Isso significa que vamos analisar o sinal da derivada antes e depois de
:
-
Para
: Vamos escolher, por exemplo, . Então: A derivada é positiva, o que indica que a função está crescente antes de. -
Para
: Vamos escolher, por exemplo, . Então: A derivada é negativa, indicando que a função está decrescente após.
Resposta
Portanto, a função
tem um ponto crítico em
, que é um máximo relativo.