Encontrar os pontos de máximo e mínimos relativos das seguintes funções, se existirem.
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Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função
e precisamos encontrar os pontos onde ela atinge máximos e mínimos relativos. Isso faz parte do conteúdo de cálculo diferencial, especificamente no estudo de derivadas para determinar pontos críticos onde a função pode ter esses extremos. Para resolver, vamos precisar calcular a derivada da função e analisar onde ela é igual a zero ou não está definida.
Passo 2
Vamos começar calculando a derivada da função
. A derivada nos ajuda a encontrar a taxa de variação da função em cada ponto. Usando as regras de derivação:
Calculando cada parte:
Então, a derivada é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos, ou seja, onde
ou onde a derivada não está definida. Primeiro, igualamos a derivada a zero:
Além disso, a derivada
não está definida quando
, porque
envolve uma divisão por zero.
Passo 4
Temos dois pontos a considerar:
e
. Vamos analisar cada um para determinar se são máximos ou mínimos.
Para
:
Vamos verificar o sinal da derivada antes e depois de 8.
-
Para
, digamos :
-
Para
, digamos :
Como a derivada muda de positiva para negativa em
, isso indica que a função atinge um máximo relativo nesse ponto.
Para
:
A derivada não está definida em
, então precisamos analisar o comportamento da função perto de 0.
-
Para
próximo de 0 à direita ( ):
tende a 0, pois domina. -
Para
próximo de 0 à esquerda ( ):
ainda é definido e positivo, então também tende a 0.
Não há mudança clara na inclinação da função em
, então não há um extremo relativo nesse ponto.
Resposta
A função
possui um máximo relativo em
. Não existem mínimos relativos.