Encontrar os pontos de máximo e mínimos relativos das seguintes funções, se existirem.
© f(x) = 6 x^(2/3) - 2 x

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função e precisamos encontrar os pontos onde ela atinge máximos e mínimos relativos. Isso faz parte do conteúdo de cálculo diferencial, especificamente no estudo de derivadas para determinar pontos críticos onde a função pode ter esses extremos. Para resolver, vamos precisar calcular a derivada da função e analisar onde ela é igual a zero ou não está definida.

Passo 2

Vamos começar calculando a derivada da função . A derivada nos ajuda a encontrar a taxa de variação da função em cada ponto. Usando as regras de derivação:
Calculando cada parte:
Então, a derivada é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos, ou seja, onde ou onde a derivada não está definida. Primeiro, igualamos a derivada a zero:
Além disso, a derivada não está definida quando , porque envolve uma divisão por zero.

Passo 4

Temos dois pontos a considerar: e . Vamos analisar cada um para determinar se são máximos ou mínimos.
Para :
Vamos verificar o sinal da derivada antes e depois de 8.
  • Para , digamos :
  • Para , digamos :
Como a derivada muda de positiva para negativa em , isso indica que a função atinge um máximo relativo nesse ponto.
Para :
A derivada não está definida em , então precisamos analisar o comportamento da função perto de 0.
  • Para próximo de 0 à direita ( ):
    tende a 0, pois domina.
  • Para próximo de 0 à esquerda ( ):
    ainda é definido e positivo, então também tende a 0.
Não há mudança clara na inclinação da função em , então não há um extremo relativo nesse ponto.

Resposta

A função possui um máximo relativo em . Não existem mínimos relativos.

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