Sejam A e B matrizes n times n. Decida se cada afirmação a seguir é verdadeira ou falsa. Justifique cada resposta.
(a) (A B)^2=A^2 B^2 deve ser verdadeiro.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. Temos duas matrizes quadradas, e , de dimensão . A afirmação é que . A gente precisa decidir se isso é verdadeiro ou falso e justificar a resposta. Para resolver isso, vamos precisar saber como funciona a multiplicação de matrizes e lembrar que, em geral, a multiplicação de matrizes não é comutativa, ou seja, .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular (A B)^2 = (A B)(A B) . Isso significa multiplicar por :
Aqui, a gente multiplica a matriz pela matriz .

Passo 3

Agora, vamos expandir A^2 B^2 = (A cdot A)(B cdot B) = A A B B . Isso significa multiplicar por e por :
Então, temos multiplicado por .

Passo 4

Para a igualdade ser verdadeira, precisaríamos que . Mas, em geral, a multiplicação de matrizes não é comutativa, ou seja, . Isso quer dizer que a ordem das matrizes importa e não podemos simplesmente reorganizar os fatores.

Passo 5

Vamos ver um exemplo simples para ilustrar isso. Considere duas matrizes (A B)^2 = A B A B e A^2 B^2 = A A B B quaisquer onde . Então:
e
Como , claramente , o que mostra que .

Resposta

Falsa. A igualdade não é verdadeira em geral porque a multiplicação de matrizes não é comutativa.

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