Sejam
e
matrizes
. Decida se cada afirmação a seguir é verdadeira ou falsa. Justifique cada resposta.
(a)
deve ser verdadeiro.
(a)
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. Temos duas matrizes quadradas,
e
, de dimensão
. A afirmação é que
. A gente precisa decidir se isso é verdadeiro ou falso e justificar a resposta. Para resolver isso, vamos precisar saber como funciona a multiplicação de matrizes e lembrar que, em geral, a multiplicação de matrizes não é comutativa, ou seja,
.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular
. Isso significa multiplicar
por
:
Aqui, a gente multiplica a matriz
pela matriz
.
Passo 3
Agora, vamos expandir
. Isso significa multiplicar
por
e
por
:
Então, temos
multiplicado por
.
Passo 4
Para a igualdade
ser verdadeira, precisaríamos que
. Mas, em geral, a multiplicação de matrizes não é comutativa, ou seja,
. Isso quer dizer que a ordem das matrizes importa e não podemos simplesmente reorganizar os fatores.
Passo 5
Vamos ver um exemplo simples para ilustrar isso. Considere duas matrizes
e
quaisquer onde
. Então:
e
Como
, claramente
, o que mostra que
.
Resposta
Falsa. A igualdade
não é verdadeira em geral porque a multiplicação de matrizes não é comutativa.