Sejam e matrizes . Decida se cada afirmação a seguir é verdadeira ou falsa. Justifique cada resposta.
(a) deve ser verdadeiro.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. Temos duas matrizes quadradas, e , de dimensão . A afirmação é que . A gente precisa decidir se isso é verdadeiro ou falso e justificar a resposta. Para resolver isso, vamos precisar saber como funciona a multiplicação de matrizes e lembrar que, em geral, a multiplicação de matrizes não é comutativa, ou seja, .
Passo 2
Primeiro, vamos calcular . Isso significa multiplicar por :
Aqui, a gente multiplica a matriz pela matriz .
Passo 3
Agora, vamos expandir . Isso significa multiplicar por e por :
Então, temos multiplicado por .
Passo 4
Para a igualdade ser verdadeira, precisaríamos que . Mas, em geral, a multiplicação de matrizes não é comutativa, ou seja, . Isso quer dizer que a ordem das matrizes importa e não podemos simplesmente reorganizar os fatores.
Passo 5
Vamos ver um exemplo simples para ilustrar isso. Considere duas matrizes e quaisquer onde . Então:
e
Como , claramente , o que mostra que .
Resposta
Falsa. A igualdade não é verdadeira em geral porque a multiplicação de matrizes não é comutativa.