Sejam A e B matrizes n times n. Decida se cada afirmação a seguir é verdadeira ou falsa. Justifique cada resposta.
(a) (A B)^2=A^2 B^2 deve ser verdadeiro.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. Temos duas matrizes quadradas, e , de dimensão . A afirmação é que . A gente precisa decidir se isso é verdadeiro ou falso e justificar a resposta. Para resolver isso, vamos precisar saber como funciona a multiplicação de matrizes e lembrar que, em geral, a multiplicação de matrizes não é comutativa, ou seja, .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular (A B)^2 = (A B)(A B) . Isso significa multiplicar por :
Aqui, a gente multiplica a matriz pela matriz .

Passo 3

Agora, vamos expandir A^2 B^2 = (A cdot A)(B cdot B) = A A B B . Isso significa multiplicar por e por :
Então, temos multiplicado por .

Passo 4

Para a igualdade ser verdadeira, precisaríamos que . Mas, em geral, a multiplicação de matrizes não é comutativa, ou seja, . Isso quer dizer que a ordem das matrizes importa e não podemos simplesmente reorganizar os fatores.

Passo 5

Vamos ver um exemplo simples para ilustrar isso. Considere duas matrizes (A B)^2 = A B A B e A^2 B^2 = A A B B quaisquer onde . Então:
e
Como , claramente , o que mostra que .

Resposta

Falsa. A igualdade não é verdadeira em geral porque a multiplicação de matrizes não é comutativa.

Exercícios relacionados

encontrar as inversas das seguintes matrizes.
(a) [rrrr1 & 1 & 0 & 0 -1 & 1 & 0 & 0 1 & 1 & 1 & 1 1 & 1 & -1 & 1]
Scja A a matriz
[ll 3 & 1 2 & 1 ]
Em cada parte encontre p(A).
© p(x)=x^3-2 x+4
Sejam A e B matrizes n times n. Decida se cada afirmação a seguir é verdadeira ou falsa. Justifique cada resposta.
(d) Nunca é verdade que A B=B A.
Quais das seguintes matrizes são elementares?
(b) [rr-5 & 1 1 & 0]