Sejam e matrizes . Decida se cada afirmação a seguir é verdadeira ou falsa. Justifique cada resposta.
(d) Nunca é verdade que .
Passo 1
Beleza, vamos resolver a questão que pede para decidirmos se é sempre falso que para matrizes quadradas . A gente vai trabalhar com conceitos de multiplicação de matrizes e a propriedade de comutatividade. Vamos precisar lembrar como multiplicar matrizes e entender quando duas matrizes podem ou não comutarem.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que, em geral, a multiplicação de matrizes não é comutativa. Ou seja, para duas matrizes quaisquer e , geralmente . Isso significa que a ordem em que multiplicamos as matrizes importa.
Passo 3
No entanto, existem situações especiais onde . Por exemplo, se for a matriz identidade , então para qualquer matriz . Outra situação é quando e são matrizes que compartilham uma base de vetores próprios, ou seja, são simultaneamente diagonalizáveis.
Passo 4
Além disso, se e são matrizes escalares, ou seja, múltiplos da matriz identidade, elas também comutam. Por exemplo, se e , onde e são escalares, então .
Passo 5
Portanto, a afirmação de que "nunca é verdade que " não é sempre verdadeira, pois existem casos específicos onde as matrizes comutam.
Resposta
Falsa. Em certos casos, como quando uma das matrizes é a identidade ou elas são simultaneamente diagonalizáveis, .