Sejam A e B matrizes n times n. Decida se cada afirmação a seguir é verdadeira ou falsa. Justifique cada resposta.
(d) Nunca é verdade que A B=B A.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a questão que pede para decidirmos se é sempre falso que para matrizes quadradas . A gente vai trabalhar com conceitos de multiplicação de matrizes e a propriedade de comutatividade. Vamos precisar lembrar como multiplicar matrizes e entender quando duas matrizes podem ou não comutarem.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que, em geral, a multiplicação de matrizes não é comutativa. Ou seja, para duas matrizes quaisquer e , geralmente . Isso significa que a ordem em que multiplicamos as matrizes importa.

Passo 3

No entanto, existem situações especiais onde . Por exemplo, se for a matriz identidade , então para qualquer matriz . Outra situação é quando e são matrizes que compartilham uma base de vetores próprios, ou seja, são simultaneamente diagonalizáveis.

Passo 4

Além disso, se e são matrizes escalares, ou seja, múltiplos da matriz identidade, elas também comutam. Por exemplo, se e , onde e são escalares, então .

Passo 5

Portanto, a afirmação de que "nunca é verdade que " não é sempre verdadeira, pois existem casos específicos onde as matrizes comutam.

Resposta

Falsa. Em certos casos, como quando uma das matrizes é a identidade ou elas são simultaneamente diagonalizáveis, .

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