Sejam A, B e C os vértices de um triângulo e M, N e P os pontos médios dos segmentos de reta AB, BC e C A, respectivamente.
(a) Escreva os vetores B P, A N e CM em termos dos vetores AB e AC.
(b) Mostre que BP + AN + CM = 0.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um triângulo com vértices e . Os pontos e são os pontos médios dos lados e , respectivamente. A matéria envolvida aqui é sobre vetores em geometria. Vamos precisar usar as propriedades de pontos médios e operações com vetores para resolver as partes (a) e (b) do exercício.

Passo 2

Para a parte (a), precisamos expressar os vetores e em termos dos vetores e .
Vamos definir como e como . Assim:
  • O ponto médio de tem posição vetorial .
  • O ponto médio de tem posição vetorial .
  • O ponto médio de tem posição vetorial .
Agora, vamos expressar os vetores solicitados:
  • .
  • .
  • .

Passo 3

Para a parte (b), precisamos mostrar que .
Vamos somar os vetores que encontramos:
Agora, vamos somar os coeficientes de e separadamente:
  • Coeficientes de : .
  • Coeficientes de : .
Portanto, a soma resulta em:

Resposta

Mostramos que .

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