Encontrar a série de Taylor da função
na vizinhança do ponto
e determinar o seu raio de convergência
para: a)
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a série de Taylor da função
em torno do ponto
. Além disso, vamos determinar o raio de convergência dessa série. Para isso, vamos usar conhecimentos de séries de potências e entender como elas se comportam perto de um ponto específico.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a função para facilitar a expansão em série. Observe que:
Isso nos ajuda a reescrever
de uma forma que se pareça com a forma da série geométrica, que é mais fácil de expandir.
Passo 3
A série geométrica é dada por:
Vamos ajustar nossa função para se encaixar nessa fórmula. No nosso caso, temos
. Então:
Passo 4
Agora, substituímos essa série na expressão de
:
Isso nos dá a série de Taylor de
em torno de
:
Passo 5
Finalmente, para encontrar o raio de convergência
, observamos de onde surgiu a condição de convergência da série geométrica. Sabemos que a série converge para
. Portanto, o raio de convergência é:
Resposta
A série de Taylor de
em torno de
é:
E o raio de convergência dessa série é
.