Encontrar a série de Taylor da função f(z) na vizinhança do ponto z0 e determinar o seu raio de convergência R para: a) f(z) = z / (z^2 - 1), z0 = 0;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a série de Taylor da função em torno do ponto . Além disso, vamos determinar o raio de convergência dessa série. Para isso, vamos usar conhecimentos de séries de potências e entender como elas se comportam perto de um ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função para facilitar a expansão em série. Observe que:
Isso nos ajuda a reescrever de uma forma que se pareça com a forma da série geométrica, que é mais fácil de expandir.

Passo 3

A série geométrica é dada por:
Vamos ajustar nossa função para se encaixar nessa fórmula. No nosso caso, temos . Então:

Passo 4

Agora, substituímos essa série na expressão de :
Isso nos dá a série de Taylor de em torno de :

Passo 5

Finalmente, para encontrar o raio de convergência , observamos de onde surgiu a condição de convergência da série geométrica. Sabemos que a série converge para . Portanto, o raio de convergência é:

Resposta

A série de Taylor de em torno de é:
E o raio de convergência dessa série é .

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