Encontrar um limite para o número de iterações para obter com precisão de
uma aproximação da raiz da seguinte equação
que se encontra no intervalo de
;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente encontrar um limite de iterações necessário para aproximar a raiz da equação
no intervalo
com uma precisão de
. Isso tá relacionado a métodos numéricos, especificamente ao Método da Bisseção, que é uma técnica pra encontrar raízes de funções de forma aproximada.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o Método da Bisseção. Esse método divide o intervalo em duas partes iguais e escolhe a subparte onde a função muda de sinal, garantindo que a raiz está ali. A cada iteração, o intervalo fica menor, aproximando a raiz. A fórmula pra achar o número mínimo de iterações necessárias para alcançar a precisão desejada é:
Onde:
-
é o intervalo inicial, -
é a precisão desejada.
Passo 3
No nosso caso, o intervalo inicial é
, então
. A precisão que queremos é
.
Passo 4
Vamos substituir esses valores na fórmula:
Sabemos que
, então:
Passo 5
Fazendo as contas:
Passo 6
Como o número de iterações tem que ser inteiro, arredondamos pra cima. Então:
Resposta
Precisamos de no mínimo 10 iterações para aproximar a raiz da equação
no intervalo
com uma precisão de
.
Exercícios relacionados
Use os métodos da bisseção, da falsa posição, de Newton-Raphson e da secante para encontrar as raízes das seguintes equações:
, no intervalo
;
Use os métodos da bisseção, da falsa posição, de Newton-Raphson e da secante para encontrar as raízes das seguintes equações:
, nos intervalos:
;
Encontrar um limite para o número de iterações para obter com precisão de
uma aproximação da raiz da seguinte equação
que se encontra no intervalo de
;
Encontre uma representaçāo em séric de poténcias para a funçioo e determine o intervalo de convergência. (Dica: use a série geométrica).