Encontrar um limite para o número de iterações para obter com precisão de 1 x 10^(-3) uma aproximação da raiz da seguinte equação f(x) = x^3 - x - 1 que se encontra no intervalo de [1, 2];

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente encontrar um limite de iterações necessário para aproximar a raiz da equação no intervalo com uma precisão de . Isso tá relacionado a métodos numéricos, especificamente ao Método da Bisseção, que é uma técnica pra encontrar raízes de funções de forma aproximada.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o Método da Bisseção. Esse método divide o intervalo em duas partes iguais e escolhe a subparte onde a função muda de sinal, garantindo que a raiz está ali. A cada iteração, o intervalo fica menor, aproximando a raiz. A fórmula pra achar o número mínimo de iterações necessárias para alcançar a precisão desejada é:
Onde:
  • é o intervalo inicial,
  • é a precisão desejada.

Passo 3

No nosso caso, o intervalo inicial é , então . A precisão que queremos é .

Passo 4

Vamos substituir esses valores na fórmula:
Sabemos que , então:

Passo 5

Fazendo as contas:

Passo 6

Como o número de iterações tem que ser inteiro, arredondamos pra cima. Então:

Resposta

Precisamos de no mínimo 10 iterações para aproximar a raiz da equação no intervalo com uma precisão de .

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