Use os métodos da bisseção, da falsa posição, de Newton-Raphson e da secante para encontrar as raízes das seguintes equações:
, no intervalo ;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar as raízes da função no intervalo usando quatro métodos diferentes: Bisseção, Falsa Posição, Newton-Raphson e Secante. Para isso, vamos precisar entender como cada um desses métodos funciona e aplicá-los passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos usar o Método da Bisseção. Esse método é ótimo quando sabemos que há uma raiz em um intervalo onde a função muda de sinal (ou seja, e têm sinais opostos).

Passo 3

Vamos verificar os sinais nos extremos do intervalo:

  • Como é negativo e é positivo, sabemos que há pelo menos uma raiz entre 0 e 1.

Passo 4

Agora, vamos calcular o ponto médio do intervalo: . Avaliamos . Como é negativo, a raiz está no intervalo .

Passo 5

Repetimos o processo com o novo intervalo:
  • Novo meio:

  • Agora, é positivo, então a raiz está em .

Passo 6

Continuando:
  • Meio:

  • Como é quase zero e positivo, a raiz está em .

Passo 7

Mais uma iteração:
  • Meio:

  • Agora, a raiz está em .

Passo 8

Vamos parar por aqui para o método da Bisseção. Após algumas iterações, a raiz aproximada é .

Passo 9

Agora, vamos para o Método da Falsa Posição. Esse método também usa um intervalo onde a função muda de sinal, mas calcula a raiz usando uma interpolação linear.

Passo 10

Calculamos a posição da raiz:

  • Como é positivo, a raiz está em .

Passo 11

Nova posição:

  • Como ainda é positivo, ajustamos o intervalo para .

Passo 12

Após mais algumas iterações, a raiz aproximada via Falsa Posição é .

Passo 13

Agora, vamos usar o Método de Newton-Raphson. Esse método requer a derivada da função. A derivada de é .

Passo 14

Escolhemos um palpite inicial, digamos . Calculamos:
Atualizamos o palpite:

Passo 15

Iteramos novamente:

Passo 16

Mais uma iteração:
Continuando, chegamos a .

Passo 17

Por último, vamos ao Método da Secante. Esse método utiliza dois palpites iniciais e aproxima a raiz com base neles.

Passo 18

Escolhemos e :
Calculamos:
Avaliaremos e repetiremos o processo até convergir para a raiz.

Resposta

As raízes aproximadas encontradas pelo método de Bisseção, Falsa Posição, Newton-Raphson e Secante são todas próximas de .

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