Use os métodos da bisseção, da falsa posição, de Newton-Raphson e da secante para encontrar as raízes das seguintes equações:
, no intervalo
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar as raízes da função
no intervalo
usando quatro métodos diferentes: Bisseção, Falsa Posição, Newton-Raphson e Secante. Para isso, vamos precisar entender como cada um desses métodos funciona e aplicá-los passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos usar o Método da Bisseção. Esse método é ótimo quando sabemos que há uma raiz em um intervalo
onde a função muda de sinal (ou seja,
e
têm sinais opostos).
Passo 3
Vamos verificar os sinais nos extremos do intervalo:
-
-
Comoé negativo e é positivo, sabemos que há pelo menos uma raiz entre 0 e 1.
Passo 4
Agora, vamos calcular o ponto médio do intervalo:
. Avaliamos
. Como
é negativo, a raiz está no intervalo
.
Passo 5
Repetimos o processo com o novo intervalo:
- Novo meio:
-
Agora,é positivo, então a raiz está em .
Passo 6
Continuando:
- Meio:
-
Comoé quase zero e positivo, a raiz está em .
Passo 7
Mais uma iteração:
- Meio:
-
Agora, a raiz está em.
Passo 8
Vamos parar por aqui para o método da Bisseção. Após algumas iterações, a raiz aproximada é
.
Passo 9
Agora, vamos para o Método da Falsa Posição. Esse método também usa um intervalo
onde a função muda de sinal, mas calcula a raiz usando uma interpolação linear.
Passo 10
Calculamos a posição da raiz:
-
Comoé positivo, a raiz está em .
Passo 11
Nova posição:
-
Comoainda é positivo, ajustamos o intervalo para .
Passo 12
Após mais algumas iterações, a raiz aproximada via Falsa Posição é
.
Passo 13
Agora, vamos usar o Método de Newton-Raphson. Esse método requer a derivada da função. A derivada de
é
.
Passo 14
Escolhemos um palpite inicial, digamos
. Calculamos:
Atualizamos o palpite:
Passo 15
Iteramos novamente:
Passo 16
Mais uma iteração:
Continuando, chegamos a
.
Passo 17
Por último, vamos ao Método da Secante. Esse método utiliza dois palpites iniciais e aproxima a raiz com base neles.
Passo 18
Escolhemos
e
:
Calculamos:
Avaliaremos
e repetiremos o processo até convergir para a raiz.
Resposta
As raízes aproximadas encontradas pelo método de Bisseção, Falsa Posição, Newton-Raphson e Secante são todas próximas de
.
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;
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em
.
Encontrar um limite para o número de iterações para obter com precisão de
uma aproximação da raiz da seguinte equação
que se encontra no intervalo de
;
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uma aproximação da raiz da seguinte equação
que se encontra no intervalo de
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