Use os métodos da bisseção, da falsa posição, de Newton-Raphson e da secante para encontrar as raízes das seguintes equações:
f(x) = x^3 - 7x^2 + 14x - 6, nos intervalos: [0, 1], [1, 3.2], [3.2, 4];

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as raízes da função usando quatro métodos diferentes: bisseção, falsa posição, Newton-Raphson e secante. Vamos trabalhar nos intervalos , e . Para isso, vamos precisar entender como cada método funciona e aplicar passo a passo em cada intervalo para achar onde a função cruza o eixo x.

Passo 2

Vamos começar com o Método da Bisseção no intervalo .
O método da bisseção é uma técnica simples para encontrar raízes de funções contínuas. A ideia é dividir o intervalo em duas partes iguais e verificar em qual delas a função muda de sinal, indicando que a raiz está lá.
Primeiro, vamos calcular e :
Como é negativo e é positivo, sabemos que há uma raiz nesse intervalo.

Passo 3

Agora, vamos dividir o intervalo ao meio e calcular o valor da função no ponto médio :
Como é negativo e é positivo, a raiz está entre e .

Passo 4

Continuamos dividindo o intervalo :
Ponto médio
Como e , a raiz está entre e .

Passo 5

Dividindo :
Ponto médio
Como e , a raiz está entre e .

Passo 6

Continuando com :
Ponto médio
Como e , a raiz está entre e .

Passo 7

Mais uma divisão em :
Ponto médio
Como e , a raiz está entre e .

Passo 8

Continuamos com :
Ponto médio
Como e , a raiz está entre e .

Passo 9

Dividindo :
Ponto médio
Como e , a raiz está quase aqui! Podemos parar por aqui para uma boa aproximação.

Resposta

A raiz da função no intervalo usando o método da bisseção está aproximadamente em .

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