Sea f la función definida por
y sea R la región triangular de vértices
. Halle el máximo y el mínimo absoluto de la función f en R.
Passo 1
Beleza, temos um exercício de cálculo multivariável aqui. A gente precisa encontrar o valor máximo e mínimo absoluto da função
dentro de uma região triangular
com vértices em
,
e
. Para isso, vamos precisar entender como analisamos funções em regiões fechadas e usar derivadas parciais e análise de fronteiras.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a região
. Ela é um triângulo no plano
com os pontos
,
e
. Vamos desenhar essas coordenadas para visualizar melhor a área onde vamos procurar os extremos da função.
Passo 3
Agora, vamos procurar os pontos críticos dentro da região. Para isso, calculamos as derivadas parciais de
em relação a
e
e igualamos a zero.
Calculando a derivada parcial em relação a
:
E em relação a
:
Passo 4
Igualando as derivadas parciais a zero para encontrar os pontos críticos:
Então, o ponto crítico é
.
Passo 5
Devemos verificar se esse ponto
está dentro da região
. Olhando os vértices
,
e
, vemos que
varia de
a
e
de
a
. O ponto
tem
, que está na borda, então ele está dentro da região.
Passo 6
Vamos calcular o valor da função nesse ponto:
Passo 7
Agora, precisamos verificar os pontos na fronteira da região
. A fronteira é composta por três segmentos de reta:
- De
a - De
a - De
a
Vamos analisar cada segmento separadamente para encontrar possíveis valores máximos e mínimos.
Passo 8
Segmento 1: de
a
Aqui,
. Então, a função fica:
Essa é uma função linear. Vamos avaliar nos extremos:
Passo 9
Segmento 2: de
a
A equação dessa reta pode ser parametrizada por
, onde
varia de 0 a 1:
Substituindo na função:
Agora, temos uma função quadrática em
. Para encontrar o máximo, derivamos em relação a
e igualamos a zero:
Então, no meio do segmento:
Calculando
:
Passo 10
Segmento 3: de
a
Parametrizamos essa reta com
entre 0 e 1:
Substituindo na função:
Derivando em relação a
:
Mas
varia de 0 a 1, então não há ponto crítico dentro do segmento. Avaliamos nos extremos:
Passo 11
Agora, juntando todos os valores encontrados:
- Ponto interno:
- Segmento 1:
, - Segmento 2:
- Segmento 3:
,
Resposta
O valor mínimo absoluto da função
na região
é
e o valor máximo absoluto é
.
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al plano
Sea
. Hallar los extremos absolutos de f sobre la región R , siendo
Encontrar los máximos y mínimos de
para (
) restringido a la elipse
.