Sea f la función definida por f(x, y) = x * y + y + x + 1 y sea R la región triangular de vértices (1,0) ; (-1,0) e (0, -1). Halle el máximo y el mínimo absoluto de la función f en R.

Passo 1

Beleza, temos um exercício de cálculo multivariável aqui. A gente precisa encontrar o valor máximo e mínimo absoluto da função dentro de uma região triangular com vértices em , e . Para isso, vamos precisar entender como analisamos funções em regiões fechadas e usar derivadas parciais e análise de fronteiras.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a região . Ela é um triângulo no plano com os pontos , e . Vamos desenhar essas coordenadas para visualizar melhor a área onde vamos procurar os extremos da função.

Passo 3

Agora, vamos procurar os pontos críticos dentro da região. Para isso, calculamos as derivadas parciais de em relação a e e igualamos a zero.
Calculando a derivada parcial em relação a :
E em relação a :

Passo 4

Igualando as derivadas parciais a zero para encontrar os pontos críticos:
Então, o ponto crítico é .

Passo 5

Devemos verificar se esse ponto está dentro da região . Olhando os vértices , e , vemos que varia de a e de a . O ponto tem , que está na borda, então ele está dentro da região.

Passo 6

Vamos calcular o valor da função nesse ponto:

Passo 7

Agora, precisamos verificar os pontos na fronteira da região . A fronteira é composta por três segmentos de reta:
  1. De a
  2. De a
  3. De a
Vamos analisar cada segmento separadamente para encontrar possíveis valores máximos e mínimos.

Passo 8

Segmento 1: de a
Aqui, . Então, a função fica:
Essa é uma função linear. Vamos avaliar nos extremos:

Passo 9

Segmento 2: de a
A equação dessa reta pode ser parametrizada por , onde varia de 0 a 1:
Substituindo na função:
Agora, temos uma função quadrática em . Para encontrar o máximo, derivamos em relação a e igualamos a zero:
Então, no meio do segmento:
Calculando :

Passo 10

Segmento 3: de a
Parametrizamos essa reta com entre 0 e 1:
Substituindo na função:
Derivando em relação a :
Mas varia de 0 a 1, então não há ponto crítico dentro do segmento. Avaliamos nos extremos:

Passo 11

Agora, juntando todos os valores encontrados:
  • Ponto interno:
  • Segmento 1: ,
  • Segmento 2:
  • Segmento 3: ,

Resposta

O valor mínimo absoluto da função na região é e o valor máximo absoluto é .

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