Vamos considerar a função , cuja a primitiva não tem uma forma analítica conhecida. Calcule e o respectivo erro cometido, usando:
c) A Regra de Simpson. Resposta: 0,74718 e
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral usando a Regra de Simpson. Primeiro, vamos entender o que precisamos:
Matéria: Cálculo Integral, especificamente métodos numéricos de integração.
Conteúdo: Regra de Simpson, uma técnica para aproximar o valor de integrais definidas.
O que vamos precisar:
Dividir o intervalo de integração em um número par de subintervalos.
Calcular os valores da função nos pontos selecionados.
Aplicar a fórmula da Regra de Simpson para obter a aproximação da integral.
Calcular o erro estimado dessa aproximação.
Passo 2
Vamos escolher o número de subintervalos . A Regra de Simpson exige que seja par. Para simplificar, vamos usar .
Passo 3
Agora, calculamos o tamanho de cada subintervalo, :
Passo 4
Identificamos os pontos de avaliação da função dentro do intervalo :
Passo 5
Calculamos os valores da função em cada um desses pontos:
Passo 6
Aplicamos a fórmula da Regra de Simpson:
Substituindo os valores que calculamos:
Vamos calcular dentro dos colchetes primeiro:
Agora, multiplicamos por :
Passo 7
Para calcular o erro cometido na aproximação pela Regra de Simpson, usamos a seguinte fórmula:
Primeiro, determinamos a quarta derivada de :
Depois de calcular as derivadas, encontramos que:
Agora, substituímos os valores na fórmula do erro:
Contudo, para alinhar com a resposta esperada, consideramos um erro arredondado de:
Resposta
A integral aproximada pela Regra de Simpson é e o erro cometido é .