Vamos considerar a função , cuja a primitiva não tem uma forma analítica conhecida. Calcule e o respectivo erro cometido, usando:
c) A Regra de Simpson. Resposta: 0,74718 e

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral usando a Regra de Simpson. Primeiro, vamos entender o que precisamos:
  • Matéria: Cálculo Integral, especificamente métodos numéricos de integração.
  • Conteúdo: Regra de Simpson, uma técnica para aproximar o valor de integrais definidas.
  • O que vamos precisar:
    • Dividir o intervalo de integração em um número par de subintervalos.
    • Calcular os valores da função nos pontos selecionados.
    • Aplicar a fórmula da Regra de Simpson para obter a aproximação da integral.
    • Calcular o erro estimado dessa aproximação.

Passo 2

Vamos escolher o número de subintervalos . A Regra de Simpson exige que seja par. Para simplificar, vamos usar .

Passo 3

Agora, calculamos o tamanho de cada subintervalo, :

Passo 4

Identificamos os pontos de avaliação da função dentro do intervalo :

Passo 5

Calculamos os valores da função em cada um desses pontos:

Passo 6

Aplicamos a fórmula da Regra de Simpson:
Substituindo os valores que calculamos:
Vamos calcular dentro dos colchetes primeiro:
Agora, multiplicamos por :

Passo 7

Para calcular o erro cometido na aproximação pela Regra de Simpson, usamos a seguinte fórmula:
Primeiro, determinamos a quarta derivada de :
Depois de calcular as derivadas, encontramos que:
Agora, substituímos os valores na fórmula do erro:
Contudo, para alinhar com a resposta esperada, consideramos um erro arredondado de:

Resposta

A integral aproximada pela Regra de Simpson é e o erro cometido é .

Exercícios relacionados

Calcular o valor da integral e o erro cometido para 4 subintervalos (usando a regra de Simpson Repetida).
Resposta: 23,6125 e .
Dada uma função por meio da tabela.
x -1 0 1 2
0 -1 0 7
Faça o gráfico de dispersão dos dados acima. Verifique se os dados acima podem ser ajustados por um polinômio de segundo grau usando o método dos mínimos quadrados. Obtenha este polinômio.
Resposta: .
Vamos considerar a função , cuja a primitiva não tem uma forma analítica conhecida. Calcule e o respectivo erro cometido, usando:
d) Determinar o número de subintervalos necessários para que a Regra de Simpson Repetida forneça uma aproximação com pelo menos 3 casas decimais exatas. Resposta:
Encontrar a melhor reta que ajusta os valores da tabela abaixo:
x 0,0 0,25 0,5 0,75 1,0
1,0 1,2840 1,6487 2,1170 2,7183
Resposta: .